Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

23.1: Вступ

  • Page ID
    75834
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Раніше ми обговорювали керований загасаний простий гармонійний генератор, і в останній лекції ми розширили цю роботу (після Ландау) до ангармонічного осцилятора, додавши квартичний термін до потенціалу. Тут ми робимо інше розширення простого осцилятора: переходимо до веденого демпфірованому маятнику. (Вага на одному кінці легкого жорсткого стрижня, інший кінець стрижня знаходиться у фіксованому положенні, але стрижень вільно обертатися навколо цієї фіксованої точки у вертикальній площині). Тобто ми замінюємо потенційний термін\(−\omega^2_0x\) в лінійному осциляторі\(−\omega^2_0\sin x\), а точніше\(−\omega^2_0 \sin \phi\), щоб зрозуміти, що у нас є кутова система. Перехід до керованого затухаючого маятника призводить до багатьох сюрпризів!

    Для досить слабкої рушійної сили поведінка веденого демпфірованого маятника, звичайно, близька до поведінки веденого демпфірованого лінійного генератора, але при поступовому збільшенні рушійної сили, при певній силі період відгуку подвоюється, потім, з подальшим збільшенням, він знову подвоюється і знову, на геометрично зменшуються інтервалах, йдучи до хаотичної (неперіодичної) реакції при певній рушійній силі. Але це ще не кінець історії - хаотичний режим реагування має велику структуру: багато точок у загальному хаотичному регіоні насправді є нехаотичними, чітко визначеними циклічними закономірностями. І, як ми побачимо пізніше, сам шаблон відповіді може бути фрактальним за своєю природою, дивіться, наприклад, дивний атрактор, обговорюваний в кінці цієї лекції. Ви можете використовувати супровідний аплет, щоб легко генерувати цей атрактор та його двоюрідні брати.

    Очевидно, що це дуже насичена тема, ми наводимо лише короткий огляд. Ми уважно стежимо за лікуванням в класичній механіці Тейлора, але з додаванням наших аплетів для ілюстративних цілей, а також для заохочення подальших досліджень: аплети точно описують рух і виставляють дивні атрактори в хаотичному режимі. За допомогою аплетів легко перевірити, як ці дивні атрактори змінюються (або руйнуються) при зміні рушійної сили або демпфування. Закінчуємо деяким обговоренням фрактальної розмірності атракторів, і як вона пов'язана з динамікою, зокрема зі швидкістю розбіжності спочатку близьких траєкторій, тут слідують Бейкер і Голлуб, Хаотична динаміка.