Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

21.5: Маятник з верхньою точкою, що швидко коливається в горизонтальному напрямку

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75011

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Візьміть\(m\) координати бути

    \ begin {рівняння}
    x = a\ cos\ Омега t+\ ell\ sin\ phi, y=\ ell\ cos\ phi
    \ end {рівняння}

    Лагранж, опускаючи термін залежно лише від часу, і виконуючи інтеграцію частинами та скидаючи загальний похідний термін, (слідуючи деталям аналізу вище для вертикально керованого маятника) є

    \ begin {рівняння}
    L=\ frac {1} {2} м\ ell^ {2}\ точка {\ phi} ^ {2} +м a\ ell\ Омега^ {2}\ cos\ Омега т\ син\ фі+м г\ ель\ cos\ phi
    \ end {рівняння}

    Звідси випливає, що\(f=m \ell a \Omega^{2} \cos \Omega t \cos \phi\) (єдина відмінність f від вертикально веденої точки опори - остаточне\(\cos \phi \text { instead of } \sin \phi)\)) і

    \ begin {рівняння}
    V_ {\ mathrm {eff}} =м г\ ell\ ліворуч [-\ cos\ phi+\ overline {f^ {2}}/2 м\ омега^ {2}\ праворуч] =м г\ ell\ ліворуч [-\ cos\ phi+\ ліво (a^ {2}\ Омега^ {2}/4 г\ ell\ вправо) ^ cos {2}\ phi\ праворуч]
    \ end {рівняння}

    Якщо\(a^{2} \Omega^{2}<2 g \ell, \quad \phi=0 \text { is stable. If } a^{2} \Omega^{2}>2 g \ell \text { the stable position is } \cos \phi=2 g \ell / a^{2} \Omega^{2}\)

    Тобто при високій частоті положення спокою знаходиться під кутом до вертикалі!

    При цьому пондерорушійна сила в напрямку найменш кутового сагайдака (в даному випадку горизонтального напрямку) врівноважується гравітаційною силою.