21.3: Стабільність маятника з швидко коливається вертикальною рушійною силою

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75018

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нагадаємо, тепер Лагранжа для простого (жорсткого) маятника довжини\(ℓ\), маси, кута від вертикалі вниз\(m\)\(\phi\), обмеженого рухатися у вертикальній площині, точка опори ведена на коливання по вертикалі з амплітудою\(\alpha\) і частотою\(\Omega\) (від перетину на параметричну резонанс),

\ begin {рівняння}
L=\ frac {1} {2} м\ ell^ {2}\ точка {\ phi} ^ {2} +м a\ ell\ Омега^ {2}\ cos\ Омега т\ cos\ phi+m g\ ell\ cos\ phi
\ end {рівняння}

Наш попередній аналіз цієї системи був для водіння частот близько подвійної природної частоти. Тепер ми дослідимо поведінку для водіння частот набагато швидше, ніж власна частота.

Рівняння руху,

\ begin {рівняння}
\ frac {d} {d t}\ лівий (\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ точка {\ phi}}\ правий) =\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ phi}
\ кінець {рівняння}

\ begin {рівняння}
м\ ell^ {2}\ ddot {\ phi} =-м a\ ell\ Омега^ {2}\ cos\ Омега т\ син\ phi-м г\ ell\ sin\ phi
\ end {рівняння}

тому, очевидно, зовнішньою рушійною силою є\(f=-m a \Omega^{2} \cos \Omega t \sin \phi\)

(Ландау має помилку - додаткова\(ℓ\) в цьому, p 95) і, з попереднього розділу, (за винятком того, що для маятника, який ми використовуємо\(\Omega\), а не\(\omega\) для зовнішньої частоти водіння)

\ begin {рівняння}
V_ {\ mathrm {eff}} =V+\ overline {f^ {2}}/2 м\ Омега^ {2} =м г\ ell\ лівий [-\ cos\ phi+\ лівий (a^ {2}\ Омега^ {2}/4 г\ ell\ праворуч)\ sin ^ {2}\ phi\ правий]
\ кінець {рівняння}

\(\text { For } \phi=\pi+\varepsilon, \quad \varepsilon \text { small, }\)

\ почати {рівняння}
V_ {\ mathrm {eff}} (\ варепсилон)\ конг м г\ ell\ лівий [1-\ frac {1} {2}\ varepsilon^ {2} +\ лівий (a^ {2}\ Омега^ {2}/4 г\ ell\ праворуч)\ varepsilon^ {2}\ правий]
\ кінець {рівняння}

і для\(a^{2} \Omega^{2}>2 g \ell\)

висхідне положення стабільне!

На перший погляд це може здатися дивним: додатковий термін в потенціалі від коливань схожий на термін кінетичної енергії для коливального руху. Звичайно, маятник коливається більше у вертикальному положенні вгору, ніж коли це в одну сторону? Так чому ж це не максимум додаткового ефективного потенціалу? Справа в тому, що відповідна змінна - це не висота маятника над якоюсь фіксованою точкою,\(\phi\) змінна - і швидкі коливання\(\phi\) мінімальні (нуль) у вертикальному положенні вгору.