21.2: Пошук ефективного потенціалу, породженого коливальною силою

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75025

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Як зазначено вище, наша система - це частинка маси, що\(m\) рухається в одному вимірі в незалежному від часу\(V(x)\) потенціалі і піддається швидко коливальній силі\(f=f_{1} \cos \omega t+f_{2} \sin \omega t\).

Сила і частота коливань такі, що частинка рухається лише на невелику відстань\(V(x)\) протягом одного циклу, і коливання набагато швидше, ніж будь-яке коливання, можливе лише в потенціалі.

Рівняння руху

\ begin {рівняння}
м\ ddot {x} =-д V/d x+f
\ end {рівняння}

Частинка піде по шляху

\ begin {рівняння}
x (t) =X (t) +\ xi (t)
\ end {рівняння}

де\(\xi(t)\) описує швидкі коливання щодо плавного шляху\(X(t)\), а середнє значення\(\overline{\xi(t)} \text { of } \xi(t)\) за період\(2 \pi / \omega\) дорівнює нулю.

Розширюючись до першого порядку в\(\xi\),

\ почати {рівняння}
м\ ddot {X} +м\ ddot {\ xi} =-\ розрив {d V} {д х} -\ xi\ frac {d^ {2} V} {d x^ {2}} +f (X, t) +\ xi\ frac {\ частковий f} {\ частковий Х}
\ кінець {рівняння}

Це рівняння має гладкі члени і швидко коливаються члени з обох сторін, і ми можемо прирівняти їх окремо. Провідними коливальними термінами є

\ begin {рівняння}
м\ ddot {\ xi} =f (X, t)
\ кінець {рівняння}

Ми відмовилися від умов на право замовлення\(\xi, \text { but kept } \ddot{\xi}, \text { because } \ddot{\xi} \sim \omega^{2} \xi \gg \xi\).

Так до провідного порядку в швидкому коливанні,

\ begin {рівняння}
\ xi = -f/м\ омега^ {2}
\ end {рівняння}

Тепер, усереднення повного рівняння руху по відношенню до часу (згладжування хитання, відповідність повільним термінам), ліворуч і праворуч обидва зникають (але скасовують один одного в будь-якому випадку),\(\xi d^{2} V / d x^{2}\) термін середній до нуля з припущення, що зміна\(m \ddot{\xi}\)\(f(X, t)\) \(d^{2} V / d x^{2}\)протягом циклу швидких коливань мізерно мало, але ми не можемо скинути середнє

\ begin {рівняння}
\ оверлайн {\ xi\ frac {\ частковий f} {\ частковий X}} =-\ розрив {1} {м\ омега^ {2}}\ оверлайн {f\ frac {\ частковий f} {\ частковий X}} =-\ frac {1} {м\ омега^ {2}}\ nabla_ {X}\ overline {f^ {f^ 2}}
\ end {рівняння}

Включаючи цей ненульовий термін, ми маємо рівняння «повільного руху»

\ begin {рівняння}
м\ ddot {X} =-d V_ {\ mathrm {eff}}/d X
\ end {рівняння}

де, використовуючи\(|\dot{\xi}|=|f| / m \omega\),

\ begin {рівняння}
V_ {\ mathrm {eff}} =V+\ overline {f^ {2}}/2 м\ омега^ {2} =V+\ frac {1} {2} м\ overline {\ dot {\ xi} ^ {2}}
\ кінець {рівняння}

Ефективним потенціалом є початковий плюс термін, пропорційний кінетичній енергії коливання.