20.2: Резонанс поблизу подвійної природної частоти

З наведеного вище аргументу місце для пошуку резонансу близьке\(\Omega=2 \omega_{0}\). Ландау бере

\ (\ почати {рівняння}
\ ddot {x} +\ омега_ {0} ^ {2}\ ліворуч [1+h\ cos\ left (2\ omega_ {0} +\ varepsilon\ праворуч) t\ праворуч] x = 0
\ end {рівняння}\)

і, маючи на увазі, що ми шукаємо коливання, близькі до власної частоти, ставить

\ begin {рівняння}
x = a (t)\ cos\ ліворуч (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t+b (t)\ sin\ ліворуч (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t
\ кінець {рівняння}

з\(a(t), b(t)\) повільно змінюється.

Важливо усвідомлювати, що це приблизний підхід. Він нехтує нерезонансними частотами, які повинні бути присутніми в невеликих кількостях, наприклад.

\ begin {рівняння}
\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t\ cos\ ліворуч (2\ омега_ {0} +\ варепсилон\ праворуч) t=\ frac {1} {2}\ cos 3\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ varec псілон\ праворуч) t+\ frac {1} {2}\ cos\ ліворуч (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t
\ end {рівняння}

і\(3\left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right)\) термін викидається.

І, оскільки припущення полягає в тому, що повільно\(a(t), b(t)\) змінюються, їх другі похідні теж скидаються, залишаючи просто

\ begin {рівняння}
\ почати {масив} {l}
\ ddot {x} =-2\ точка {a} (t)\ омега_ {0}\ син\ лівий (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t-a (t)\ лівий (\ омега_ {0} ^ {2} +\ омега_ {0} варепсилон\ праворуч)\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t\\
+2\ точка {b} (t)\ омега_ {0}\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ праворуч) t-b (t)\ ліворуч (\ омега_ {0} ^ {2} +\ омега_ {0}\ varepsilon\ праворуч)\ sin\ ліворуч (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ праворуч)\ sin\ ліворуч (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ праворуч)
\ end {масив}
\ end {рівняння}

Це повинно дорівнювати

\ begin {рівняння}
-\ омега_ {0} ^ {2}\ лівий [1+h\ cos\ лівий (2\ омега_ {0} +\ варепсилон\ вправо) т\ вправо]\ лівий [a (t)\ cos\ лівий (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ праворуч) t+b (t)\ sin\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t\ праворуч]
\ end {рівняння}

Зберігаючи тільки резонансні терміни, беремо\(\cos \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t \cdot \cos \left(2 \omega_{0}+\varepsilon\right) t=\frac{1}{2} \cos \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t\) і\(\sin \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t \cdot \cos \left(2 \omega_{0}+\varepsilon\right) t=-\frac{1}{2} \sin \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t\)

так цей вислів стає

\ begin {рівняння}
\ почати {масив} {l}
-\ омега_ {0} ^ {2}\ лівий [1+h\ cos\ лівий (2\ омега_ {0} +\ варепсилон\ праворуч) т\ вправо]\ лівий [a (t)\ cos\ лівий (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ правий) t+b (t)\ sin\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ справа) t\ праворуч]\\
=-\ омега_ {0} ^ {2}\ ліворуч [a (t)\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t+b (t)\ син\ лівий (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2} {2}\ varepsilon\ праворуч) t+\ frac {1} {2} h (t)\ cos\ лівий (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ праворуч) t-\ frac {1} {2} h b (t)\ sin\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ праворуч) t\ праворуч]
\ кінець {масив}
\ end {рівняння}

Рівняння стає:

\ begin {рівняння}

\ почати {вирівняний}\ ddot {x} =&-2\ точка {a} (t)\ омега_ {0}\ sin\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ праворуч) t-a (t)\ ліворуч (\ омега_ {0} ^ {2} +\ омега_ {0} +\ омега_ {0} силон\ праворуч)\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) т\\
&+2\ точка {b} (t)\ омега_ {0} \ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) т-б (t)\ ліворуч (\ омега_ {0} ^ {2} +\ омега_ {0}\ varepsilon\ праворуч)\ sin\ ліворуч (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ праворуч) t\\
=&=\ омега_ {0} ^ {2}\ ліворуч [a (t)\ cos\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t+b (t)\ sin\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t+\ frac {1} {2} h a (t)\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t-\ frac {1} {2} h b (t)\ sin\ ліворуч (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepp силон\ правий) t\ правий]
\ кінець {вирівняний}
\ кінець {рівняння}

Терміни нульового порядку скасовуються між двома сторонами, залишаючи

\ begin {рівняння}
\ почати {масив} {l}
-2\ точка {a} (t)\ омега_ {0}\ sin\ лівий (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ вправо) t-a (t)\ омега_ {0}\ варепсилон\ cos\ лівий (\ омега_ {0}} {2}\ варепсилон\ праворуч) t+2\ точка {b} (t)\ омега_ {0}\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ право) t-b (t)\ омега_ {0}\ варепсилон\ син\ лівий (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ справа) t\
=-\ омега_ {0} ^ {2}\ лівий [\ frac {1} {2} h a (t)\ cos\ лівий (\ omega_ {0} +\ frac {1} {1} 2}\ варепсилон\ праворуч) t-\ frac {1} {2} h b (t)\ sin\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ право) t\ праворуч]
\ end {масив}
\ end {рівняння}

Збір термінів в\(\sin \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t, \quad \cos \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t\)

\ begin {рівняння}
-\ лівий (2\ точка {a} +b\ варепсилон+\ frac {1} {2} h\ omega_ {0} b\ праворуч)\ омега_ {0}\ sin\ ліворуч (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t+\ left (2\ dot {b} (t) -a\ varepsilon+\ frac {1} {2} h\ omega_ {0} a\ праворуч)\ омега_ {0}\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} +\ frac {1} {2}\ варепсилон\ праворуч) t=0
\ кінець {рівняння}

Синус і косинус не можуть скасувати один одного, тому обидва коефіцієнти повинні бути однаково нульовими. Це дає два диференціальних рівняння першого порядку для функцій\(a(t), b(t)\), і ми шукаємо експоненціально зростаючі функції, пропорційні\ (\ begin {рівняння}
a (t) =a e^ {s t},\ quad b (t) =b e^ {s t}
\ end {рівняння}\), які будуть надані розв'язки

\ begin {рівняння}
\ почати {масив} {l}
s a+\ frac {1} {2}\ ліворуч (\ варепсилон+\ розривом {1} {2} h\ омега_ {0}\ праворуч) b=0\\
\ frac {1} {2} {2}\\ ліворуч (\ варепсилон-\ frac {1} {2} h\ omega_ {0} праворуч) a-s b=0
\ end {масив}
\ end {рівняння}

Отже, швидкість зростання амплітуди

\ begin {рівняння}
s^ {2} =\ frac {1} {4}\ лівий [\ лівий (\ frac {1} {2} h\ omega_ {0}\ праворуч) ^ {2} -\ varepsilon^ {2}\ праворуч]
\ end {рівняння}

Параметричний резонанс буде мати місце, якщо\(s\) реальний, тобто якщо

\ begin {рівняння}
-\ гідророзриву {1} {2} h\ omega_ {0} <\ varepsilon<\ frac {1} {2} h\ omega_ {0}
\ end {рівняння}

смуга ширини\(h \omega_{0} \text { about } 2 \omega_{0}\)