20.1: Вступ до параметричного резонансу

(Після Ландау пункт 27)

Одновимірний простий гармонічний осцилятор, маса на пружині,

\ begin {рівняння}
\ розрив {d} {d t} (м\ точка {x}) +k x = 0
\ end {рівняння}

має два параметри,\(m\) і\(k\). Для деяких систем параметри можуть бути змінені зовні (наприклад, довжина маятника, якщо на верхньому кінці струна переходить через шків).

Тут нас цікавить реакція системи на деякі зовнішні нав'язані періодичні зміни її параметрів, і, зокрема, ми розглянемо резонансну реакцію, що означає велику реакцію на невелику нав'язану варіацію.

Зверніть увагу на перше, що нав'язані зміни в масовому терміні легко впоратися, просто переосмисливши змінну часу на\(d \tau=d t / m(t)\) значення,\(\tau=\int \frac{d t}{m(t)}\). Тоді

\ begin {рівняння}
\ розрив {d} {d t}\ ліворуч (м\ frac {d x} {d t}\ право) =\ гідророзрив {1} {м} {м} {d\ тау}\ лівий (м} {m}\ frac {d x} {d\ tau}\ право) =\ frac {1} {m}\ frac {d\ tau}\ правий) =\ frac {1} {m}\ frac {d x} {d\ tau}\ правий) =\ frac {1} {m}\ frac c {d^ {2} x} {d\ tau^ {2}}
\ end {рівняння}

і рівняння руху стає\(\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+m(\tau) k x=0\)

Це означає, що ми завжди можемо перетворити рівняння, так що всі параметричні варіації знаходяться в постійній весні, тому ми просто проаналізуємо рівняння.

\ begin {рівняння}
\ розрив {d^ {2} x} {d t^ {2}} +\ омега^ {2} (t) x = 0
\ end {рівняння}

Крім того, оскільки ми шукаємо резонансні явища, ми розглянемо лише невелику параметричну варіацію на одній частоті, тобто візьмемо

\ begin {рівняння}
\ омега^ {2} (t) =\ омега_ {0} ^ {2} (1+h\ cos\ Омега т)
\ кінець {рівняння}

де\(h \ll 1, \text { and } h\) є позитивним (тривіальна вимога - просто встановлення часу початку).

(Примітка: Ми віддаємо перевагу тому\(\Omega \text { where Landau uses } \gamma\), який часто використовується для резонансної ширини в наші дні.)

Тепер у нас є керований генератор:

\ begin {рівняння}
\ розрив {d^ {2} x} {d t^ {2}} +\ омега_ {0} ^ {2} x=-\ омега_ {0} ^ {2} х ч\ cos\ Омега т
\ кінець {рівняння}

Чим це відрізняється від нашого попереднього аналізу керованого осцилятора? Дуже важливим способом!

Амплітуда х є фактором рушійної сили.

З одного боку, це означає, що якщо генератор спочатку знаходиться в стані спокою, він залишається таким чином, на відміну від звичайного зовнішнього приводу генератора. Але якщо амплітуда збільшується, так само і рушійна сила. Це може призвести до експоненціального збільшення амплітуди, на відміну від лінійного збільшення, яке ми знайшли раніше із зовнішнім драйвером. (Звичайно, в реальній системі тертя і нелінійний потенціал будуть обмежувати зростання.)

Які частоти виявляться важливими при веденні генератора до великої амплітуди? Він найкраще реагує, звичайно, на свою природну частоту\(\omega_{0}\). Але якщо вона насправді вже коливається на цій частоті, то рушійна сила, включаючи коефіцієнт\(x\), пропорційна

\ begin {рівняння}
\ cos\ omega_ {0} t\ cos\ Омега t=\ frac {1} {2}\ cos\ ліворуч (\ Омега-\ омега_ {0}\ праворуч) t+\ frac {1} {2}\ cos\ left (\ Омега+\ омега_ {0}\ праворуч) t
\ кінець {рівняння}

без компонента на власній частоті\ (\ begin {рівняння}
\ omega_ {0}\ text {для загального}\ Omega
\ end {рівняння}\)

Найпростіший спосіб отримати резонанс - взяти\(\Omega=2 \omega_{0}\). Чи можемо ми зрозуміти це фізично? Так. Уявіть, що маса коливається назад і вперед на пружині, і сила пружини збільшується відразу після тих точок, де маса знаходиться найдалі від рівноваги, тому вона отримує додатковий буксир всередину двічі за цикл. Це буде харчуватися енергією. (Ви можете керувати гойдалками таким чином.) На відміну від цього, якщо ви їдете на природній частоті, даючи трохи поштовх всередину відразу після того, як він починає гойдатися всередину з одного боку, то ви будете давати йому трохи поштовх назовні відразу після того, як він починає гойдатися назад з іншого боку. Звичайно, якщо ви натискаєте лише з одного боку, як розмахуючи гойдалки, це працює - але це не єдина сила частоти, наступна гармоніка виконує більшу частину роботи.