19.8: Дискретне перетворення Фур'є

Варто подивитися на це ще раз з дещо іншої точки зору. При знаходженні енергії коливальної безперервної струни стандартним підходом є аналіз руху струни в терміні нескінченного ряду Фур'є коротших і коротших коливань довжини хвилі, пошуку енергії в кожному з цих режимів і додавання для знаходження загальної енергії. Ми будемо застосовувати той самий підхід тут, але з різницею. Оскільки хвилі мають значення лише в нашому ланцюжку в дискретному наборі рівномірно розташованих точок, набір хвиль, необхідних для повного обліку всіх можливих рухів, є кінцевим. По суті, це те ж саме, що і кількість балів. Як ми вже обговорювали вище, хвиля з більшим хвильовим числом дає однаковий набір переміщень атомів, як і деякі нижчі. Таким чином, для повного Фур'є аналізу переміщень в цих\(N\) рівнопросторових точках потрібні лише лінійні комбінації\(N\) хвиль. Це дискретне перетворення Фур'є (DFT).

Написання комплексного (амплітудного і фазового) коефіцієнта\(n^{\text {th }}\) частотного власне стану\(X_{n}\), положення\(j^{t h}\) атома в суперпозиції таких хвиль (зі стандартною нормалізаційною конвенцією)

\[x_{j}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X_{n} e^{i k_{n} j a}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X_{n} e^{i 2 \pi n j / N}\]

З огляду на положення\(x_{j}\) атомів, амплітудні коефіцієнти можна знайти за допомогою зворотного відображення:

\[ X_{n}=\sum_{j=0}^{N-1} x_{j} e^{-i 2 \pi j n / N}=\sum_{j=0}^{N-1} \frac{1}{N} \sum_{n^{\prime}=0}^{N-1} X_{n^{\prime}} e^{i 2 \pi n^{\prime} j / N} e^{-i 2 \pi j n / N}\]

потім за допомогою

\[\sum_{j=1}^{N} e^{-i 2 \pi n j / N} e^{i 2 \pi n^{\prime} j / N}=\sum_{j=1}^{N} e^{i 2 \pi\left(n^{\prime}-n\right) j / N}=N \delta_{n^{\prime} n}\]

дає\(X_{n}=X_{n}\), встановлюючи, що ми маємо правильну форму для зворотного перетворення.

Миттєва конфігурація системи повністю визначається набором\(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right)\) і в рівній мірі набором\(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N}\right)\). Всі можливі переміщення частинок на\(N\) рівновіддалених ділянках можуть бути відображені в\(N\) амплітудах\(N\) різних хвиль (власних векторів).

(Це відображення DFT широко використовується в часовій області при обробці сигналів: амплітуда сигналу вибірка, скажімо, кожну мілісекунду, тоді дані можуть бути DFT, щоб дати хвильові компоненти до мінімальної частоти близько однієї мілісекунди. Для голосового сигналу хорошої якості потрібен менший інтервал часу, можливо, 0,2 мілісекунди.)

Тепер, з

\[x_{j}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X_{n} e^{i 2 \pi n j / N}\]

\[\sum_{j=1}^{N} x_{j}^{*} x_{j}=\frac{1}{N^{2}} \sum_{j=1}^{N} \sum_{m=0}^{N-1} X_{m}^{*} e^{-i 2 \pi m j / N} \sum_{n=0}^{N-1} X_{n} e^{i 2 \pi n j / N}\]

і знову за допомогою

\[\sum_{j=1}^{N} e^{-i 2 \pi m j / N} e^{i 2 \pi n j / N}=\sum_{j=1}^{N} e^{i 2 \pi(n-m) j / N}=N \delta_{m n}\]

знаходимо

\[\sum_{j=1}^{N} x_{j}^{*} x_{j}=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} X_{n}^{*} X_{n}\]

Повертаємося до нашого ланцюга: для фізичної конфігурації атомів все\(x_{j}\) повинно бути реальним, тому від

\[X_{n}=\sum_{j=0}^{N-1} x_{j} e^{-i 2 \pi j n / N}\]

ми

бачу, що\(X_{n}^{*}=X_{-n}=X_{N-n}\). (Це зменшує кількість видимих ступенів свободи в X поданні до правильного N\(X_{0} \text { is real, } X_{1}^{*}=X_{N-1}\) і т.д., а якщо є середина\(X_{n}\), вона повинна бути реальною.)

Кінетична енергія частинок ланцюга,

\[\sum_{j=1}^{N}\left|\dot{x}_{j}\right|^{2}=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}\left|\dot{X}_{n}\right|^{2}\]

Ми можемо знайти потенційну енергію аналогічно:

\[\sum_{j=1}^{N}\left(x_{j+1}-x_{j}\right)=\sum_{j=1}^{N} \sum_{n=0}^{N-1} X_{n} e^{i 2 \pi n j / N}\left(e^{2 \pi i n / N}-1\right)\]

і використовуючи ту саму процедуру, що і раніше,

\[\sum_{j=1}^{N}\left(x_{j+1}-x_{j}\right)^{2}=\sum_{n=0}^{N-1}\left|X_{n}\right|^{2}\left|e^{2 \pi i n / N}-1\right|^{2}=\sum_{n=0}^{N-1}\left|X_{n}\right|^{2}\left|e^{i k_{n} a}-1\right|^{2}\]

Нарешті,

\[\left|e^{i k_{n} a}-1\right|^{2}=4 \sin ^{2}\left(\frac{k_{n} a}{2}\right)\]

Зібравши все це воєдино, Лагранжа можна записати в терміні перетворених змінних:

\[L=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}\left[\frac{1}{2} m\left|\dot{X}_{n}\right|^{2}-2 \kappa \sin ^{2}\left(\frac{k_{n} a}{2}\right)\left|X_{n}\right|^{2}\right]\]

Рівняння руху тоді

\[m \ddot{X}_{n}=-4 \kappa \sin ^{2}\left(\frac{k_{n} a}{2}\right) X_{n}\]

з власними значеннями

\[\Omega_{n}=\sqrt{\frac{\kappa}{m}} \cdot 2 \sin \left(\frac{k_{n} a}{2}\right)=\sqrt{\frac{\kappa}{m}} \cdot 2 \sin \left(\frac{n \pi}{N}\right)\]

Це, звичайно, той самий результат, який ми знайшли раніше, але, можливо, варто побачити, як він виходить з (математично еквівалентного) аналізу DFT.