17.7: Три рівні маятники однаково з'єднані

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75625

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Що робити, якби у нас була третя однакова пружина, що з'єднує два кінцевих маятника (ми могли б мати невеликі стрижні, що тягнуться вниз, щоб пружина йшла нижче середнього маятника?

Як виглядатимуть режими коливання в цьому випадку?

Очевидно, що всі три хитання разом все ще є варіантом, власним вектором (1,1,1), відповідним нулю власних значень «матриці взаємодії» вище. Але насправді ми повинні розширити цю матрицю, щоб включити нову пружину - це легко перевірити, що дає рівняння:

\ begin {рівняння}
\ left (\ begin {масив} {ccc}
2-\ лямбда &
-1 & -1\\ -1 & 2\\ лямбда &
-1 & 2-\ лямбда
\ кінець {масив}\ праворуч)\ ліворуч (\ begin {масив} {c} {c}
A_ {1}\
A_ {2}\
A_ { 3}
\ end {масив}\ праворуч) =0
\ end {рівняння}

Рівняння для власних значень легко знайти\(\lambda(\lambda-3)^{2}=0\). Введення\(\lambda=3\) в матрицю дає рівняння\(A_{1}+A_{2}+A_{3}=0\) Це говорить нам про те, що будь-який вектор, перпендикулярний до все-коливається разом вектора (1,1,1) є власним вектором. Це пов'язано з тим, що інші два власні вектори мають однакове власне значення, тобто будь-яка лінійна комбінація з них також має власне значення - це виродження.

Подумайте про фізичну ситуацію. Якщо ми встановимо перші два маятника, що розгойдуються точно з фази, третій маятник не відчує сили сітки, тому залишиться в стані спокою. Але ми могли б однаково вибрати іншу пару. І, власне вектор (1, −2,1), який ми знайшли раніше, все ще є власним вектором: він знаходиться у цьому виродженому підпросторі, рівному (1, −1,0) − (0,1, −1).