16.5: Векторне виведення кута розсіювання

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75244

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Суттєвим результатом наведеного аналізу став кут розсіювання як функція параметра удару, для заданої енергії, що надходить. Варто зазначити, що це можна знайти більш безпосередньо за допомогою векторних методів з рівняння Гамільтона.

Нагадаємо з останньої лекції рівняння Гамільтона

\ begin {рівняння}
\ vec {L}\ раз m\ stackrel {\ ddot {\ rightarrow}} {r} =-m r^ {2} f (r)\ frac {d\ vec {r}} {d t}
\ кінець {рівняння}

і інтеграл для оберненої квадратної сили\(f(r)=k / r^{2}\) (зміна знака\(\vec{A}\) для подальшої зручності)

\ begin {рівняння}
\ vec {L}\ раз м\ точка {\ vec {r}} =k м\ overrightarrow {\ vec {r}} +\ vec {A}
\ end {рівняння}

Як обговорювалося раніше, множення на\(\vec{L}\). Встановлює, що\(\vec{A}\) знаходиться в площині орбіти, а множення на\(\vec{r}\) дає

\ begin {рівняння}
-L^ {2} =k м r+a r\ cos\ тета
\ кінець {рівняння}

Це відповідає рівнянню

\ begin {рівняння}
1/r = -e\ cos\ тета-1
\ кінець {рівняння}

(ліва гілка з правим фокусом як походження, зверніть увагу на діаграму вище, яка\(\cos \theta\) є негативною на всьому протязі) і

\ begin {рівняння}\ розрив {L^ {2}} {k m r} =-1-\ frac {A} {k m}\ cos\ тета\ кінець {рівняння}

Щоб знайти кут розсіювання, припустимо, що одиничний вектор, що вказує паралельно асимптотичній\(\widehat{\vec{r}}_{\infty}\), так асимптотична швидкість є\(v_{\infty} \widehat{\vec{r}}_{\infty}\).

Зверніть увагу, що, як і раніше,\(\vec{A}\) знаходиться уздовж великої осі (щоб надати правильну форму\((r, \theta)\) рівнянню), і\(r=\infty\) дає асимптотичні кути від

\ begin {рівняння}
\ cos\ theta_ {r=\ infty} =-k m/A
\ end {рівняння}

Ми не обертаємо гіперболу, як це було в альтернативному лікуванні вище: тут ми тримаємо її симетричною щодо\(x\) осі -і знаходимо її асимптотичний кут до цієї осі, який становить половину кута розсіювання.

Тепер візьмемо рівняння Гамільтона в асимптотичній межі, де швидкість паралельна зміщенню:

векторний\(\times \widehat{\bar{r}}_{\infty}\) добуток рівняння Гамільтона

\ begin {рівняння}
\ vec {A}\ times\ widehat {\ vec {r}} _ {\ intty} =\ вліво (\ vec {L}\ раз m v_ {\ intty}\ widehat {\ vec {r}} _ {\ vec {r} = -\ vec {L} (L/b)
\ end {рівняння}

Звідси випливає, що

\ begin {рівняння}
\ sin\ theta_ {r=\ infty} =-L^ {2}/A b
\ end {рівняння}

І разом з\(\cos \theta_{r=\infty}=-k m / A\), знаходимо

\ begin {рівняння}
\ tan\ theta_ {r=\ infty} =\ розрив {L^ {2}} {k m b} =\ frac {m b v_ {\ infty} ^ {2}} {k}
\ end {рівняння}

Це кут між асимптотою і великою віссю: кут розсіювання

\ почати {рівняння}
\ chi=\ pi-2\ тета_ {r=\ infty} =2\ ліворуч (\ frac {\ pi} {2} -\ theta_ {r=\ infty}\ праворуч) =2\ тан ^ {-1}\ ліво (\ frac {k} {m b v_ {\ infty} ^ {2}}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

погоджуючись з попереднім результатом.