11.9: Енергетичний градієнт та швидкість фазового простору
- Page ID
- 75329
Для незалежного від часу гамільтоніана шлях у фазовому просторі\((q,p)\) є постійною енергетичною лінією, і ми можемо думати про весь фазовий простір як окреслений багатьма такими лініями, точно аналогічними контурним лініям, що з'єднують точки на одному рівні на карті нерівності місцевості, енергії, що відповідає висоті над морем рівень. Градієнт у будь-якій точці, вектор, що вказує точно в гору і, отже, перпендикулярний шляху постійної енергії, є
\ begin {рівняння}
\ vec {\ nabla} H =(\ часткова H/\ часткова q,\ часткова H/\ часткова р)
\ кінець {рівняння}
тут\(H=E\). Швидкість руху точки системи через фазовий простір дорівнює
\ begin {рівняння}
\ vec {v} =(\ точка {q},\ точка {p}) =(\ часткове Н/\ часткове р, -\ часткове Н/\ часткове q)
\ кінець {рівняння}
Цей вектор перпендикулярний вектору градієнта, як і повинно бути, звичайно, так як система рухається по постійному енергетичному шляху. Але, що цікаво, він має таку ж величину, як і вектор градієнта! Яке значення цього? Уявіть собі невеликий квадрат, затиснутий між двома фазовими космічними шляхами, близькими між собою в енергії, і припустимо, що відстань між двома шляхами зменшується, тому квадрат стискається, зі швидкістю, рівною швидкості зміни енергетичного градієнта. Але в той же час він повинен розтягуватися уздовж напрямку шляху, величину, рівну швидкості зміни фазового простору уздовж шляху - і вони рівні. Отже, це просто Ліувіль знову, його площа не змінюється.