10.6: Розвиток часу - це канонічна трансформація, породжена дією

Перетворення зі змінних\ (\ begin {рівняння}
q_ {i} ^ {(1)}, p_ {i} ^ {(1)}\ текст {за часом} t_ {1}\ text {to} q_ {i} ^ {(2)},\ quad p_ {i} ^ {(2)}\ text {пізніше} t_ {2}
\ end {рівняння}\) має бути канонічним, оскільки система підпорядковується Гамільтону (канонічному!) рівняння в усі часи.

Фактично, варіація дії вздовж істинного шляху від\ (\ begin {рівняння}
q_ {i} ^ {(1)}\ text {за часом} t_ {1}\ text {to} q_ {i} ^ {(2)}\ text {at} t_ {2}
\ end {рівняння}\) щодо кінцевих та початкових координат і часу було виявлено раніше

\ почати {рівняння}
д S\ ліворуч (q_ {i} ^ {(1)}, q_ {i} ^ {(2)}, t_ {2}, t_ {1}\ право) =\ sum_ {i} p_ {i} ^ {(2)} d q_ {i} ^ {(2)} -\ sum_ {i} p_ {i} ^ {(1))} д q_ {i} ^ {(1)} +H ^ {(2)} d t_ {2} -H ^ {(1)} d t_ {1}
\ end {рівняння}

і, порівнюючи цей вираз з диференціальною формою канонічного перетворення, відповідного\ (\ begin {рівняння}
F (q\ rightarrow Q, p\ rightarrow P)
\ end {рівняння}\) в обговоренні вище, яке було

\ begin {рівняння}
d F=\ sum_ {i} p_ {i} d q_ {i} -\ sum_ {i} P_ {i} d Q_ {i} +\ лівий (H ^ {(1)} -H ^ {(2)}\ праворуч) d t
\ кінець {рівняння}

ми бачимо, що сама дія є генеруючою функцією для канонічного перетворення зі змінних\ (\ begin {рівняння}
q_ {i} ^ {(1)}, p_ {i} ^ {(1)}\ text {at}\ end {рівняння}\) час\ (\ begin {рівняння}
t_ {1}\ text {до множини} q_ {i} ^ {i}
(2)}, p_ {i} ^ {(2)}\ text {пізніше} t_ {2}
\ end {рівняння}\) фактично −S генерує рух вперед у часі, еквівалентні змінні у двох рівняннях вище

\ почати {рівняння}
p_ {i} ^ {(1)}\ equiv p_ {i}, d q_ {i} ^ {(1)}\ equiv d q_ {i}, p_ {i} ^ {(2)}\ equiv P_ {i}, d q_ {i} ^ {(2)}\ equiv d Q_ {i}
\ кінець {рівняння}