10.5: Дужки Пуассона під канонічними перетвореннями

По-перше, зверніть увагу, що якщо рівняння Гамільтона мають стандартну канонічну форму

\ почати {рівняння}
\ точка {q} _ {i} =\ лівий [H, q_ {i}\ праворуч] =\ розриву {\ часткове Н} {\ часткове р_ {i}},\ quad\ dot {p} _ {i} =\ лівий [H, p_ {i}\ правий] =-\ frac {\ частковий H} {\ частковий q_ {i}}
\ кінець рівняння}

щодо пари змінних\ (\ begin {рівняння}
p, q
\ end {рівняння}\)

то ці змінні, як кажуть, канонічно сполучені.

Дужка Пуассона є інваріантною під канонічним перетворенням, що означає

\ begin {рівняння}
[f, g] _ {p, q} = [f, g] _ {P, Q}
\ end {рівняння}

Почнемо з встановлення того, що

\ почати {рівняння}
\ лівий [Q_ {i}, Q_ {k}\ праворуч] _ {p, q} =0,\ quad\ ліворуч [P_ {i}, P_ {k}\ праворуч] _ {p, q} =0,\ quad\ ліворуч [P_ {i}, Q_ {k}\ праворуч] _ {p, q} =\ delta_ {i}
кінець {рівняння}

Ми покажемо метод, взявши лише одну пару змінних p, q та генеруючу функцію\ (\ begin {рівняння}
F (q, Q)
\ end {рівняння}\)

Тоді

\ begin {рівняння}
[P, Q] _ {p, q} =\ лівий (\ frac {\ частковий P} {\ частковий p}\ правий) _ {q}\ лівий (\ частковий Q} {\ частковий q}\ правий) _ {p} -\ лівий (\ frac {\ частковий р} {\ частковий q}\ правий) _ {p}\ лівий (\ frac {\ часткове Q} {\ часткове р}\ право) _ {q}
\ end {рівняння}

З генеруючою функцією\ (\ begin {рівняння}
F (q, Q),\ text {у нас} p (q, Q) =(\ часткове F/\ часткове q) _ {Q}, P (q, Q) =- (\ часткове F/\ часткове Q) _ {q},\ text {so}
\ end {рівняння}\)

\ begin {рівняння}
\ лівий (\ frac {\ частковий P} {\ частковий р}\ праворуч) _ {q} =\ лівий (\ frac {\ частковий P} {\ частковий Q}\ правий) _ {q}\ лівий (\ frac {\ частковий Q} {\ частковий р}\ право) _ {q}
\ кінець {рівняння}

і

\ begin {рівняння}
\ лівий (\ frac {\ частковий P} {\ частковий q}\ правий) _ {p} =\ лівий (\ frac {\ частковий P} {\ частковий q}\ правий) _ {Q}\ правий (\ частковий Q}\ правий) _ {q}\ лівий (\ частковий Q}\ правий) _ {q}\ лівий (\ частковий Q}\ правий) _ {p}
\ end {рівняння}

Помістивши ці результати в дужку Пуассона,

\ почати {рівняння}
[Q, P] =-\ лівий (\ frac {\ частковий Q} {\ частковий р}\ право) _ {q}\ лівий (\ frac {\ частковий P} {\ частковий q}\ правий) _ {Q} =\ лівий (\ frac {\ частковий Q} {\ частковий р}\ правий) _ {q}\ frac {\ частковий Q}\ правий) _ {q}\ frac {\ частковий Q}\ правий) _ {q}\ frac {\ частковий Q}} {\ частковий q\ частковий Q} =\ лівий (\ frac {\ частковий Q} {\ частковий р}\ праворуч) _ {q}\ лівий (\ frac {\ partial p} {\ частковий Q}\ правий) _ {q} =1
\ кінець {рівняння}

Ці основні результати можуть бути використані для того, щоб довести, що загальна дужка Пуассона не залежить від параметризації фазового простору, деталей у Гольдштейні та інших місцях.

Ландау, з іншого боку, пропонує однорядкове доказ інваріантності дужки Пуассона двох динамічних функцій\ (\ begin {рівняння}
f\ left (p_ {i}, q_ {i}\ right), g\ left (p_ {i}, q_ {i}\ right)
\ end {рівняння}\) під канонічним перетворенням: уявіть фіктивну систему, що має g як його гамільтоніан. Потім\ (\ begin {рівняння}
[f, g] _ {p, q}\ text {просто} d f/d t
\ end {рівняння}\) і не може залежати від використовуваної системи координат, тому має дорівнювати\ (\ begin {рівняння}
[f, g] _ {P, Q}
\ end {рівняння}\).