Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.4: Генерація функцій у різних змінних

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75510

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Це\ (\ begin {рівняння}
    F (q, Q, t)
    \ end {рівняння}\) є лише одним прикладом генеруючої функції - при обговоренні теореми Ліувіля пізніше нам буде зручно мати генеруючу функцію, виражену в q і P. Ми отримуємо цю генеруючу функцію, часто позначену\ (\ begin { рівняння}
    \ Phi (q, P, t),\ текст {від} F (q, Q, t)
    \ end {рівняння}\) шляхом перетворення Лежандра:

    \ почати {рівняння}
    d\ Phi (q, P, t) =д\ ліво (F+\ сума P_ {i} Q_ {i}\ право) =\ сума p_ {i} d q_ {i} +\ сума Q_ {i} d P_ {i} +\ лівий (H ^ {\ правий} -H\ праворуч) d t
    \ кінець {рівняння}

    Потім, для цієї нової генеруючої функції

    \ begin {рівняння}
    p_ {i} =\ гідророзриву {\ часткове\ Phi (q, P, t)} {\ часткове q_ {i}},\ квад Q_ {i} =\ частковий\ Phi {\ partial\ Phi (q, P, t)} {\ частковий P_ {i}},\ квад H ^ {\ прайм} =H+\ frac {\ частковий\ Phi q (P, Q,, t)} {\ часткове t}
    \ кінець {рівняння}

    Очевидно, ми можемо аналогічно використовувати перетворення Лежандра для пошуку генеруючих функцій залежно від інших можливих сумішей старих та нових змінних: p, Q та p, P.

    У чому сенс цих канонічних перетворень?

    Це стане очевидним на кількох прикладах: часто можна перетворити на набір змінних, де рівняння руху набагато простіші, а для деяких змінних - тривіальні. Канонічний підхід також дає чіткий доказ теореми Ліувіля, яку ми розглянемо найближчим часом.