10.3: Генеруючі функції для канонічних перетворень

У цьому розділі ми повернемося до розгляду повної дії (а не скорочено-фіксованої енергії - дії, використаної раніше).

Тепер ми встановили, що рівняння Гамільтона в початковій параметризації випливають з мінімізації дії у формі

\ begin {рівняння}
\ дельта\ int\ ліворуч (\ sum_ {i} p_ {i} d q_ {i} -H d t\ праворуч) =0
\ end {рівняння}

Для канонічного перетворення нові змінні за визначенням також повинні задовольняти рівняння Гамільтона, тому, працюючи назад, мінімізація дій повинна бути вираженою в нових змінних точно так само, як у старих:

\ begin {рівняння}
\ дельта\ int\ ліворуч (\ sum_ {i} P_ {i} d Q_ {i} -H ^ {\ prime} d t\ праворуч) =0
\ кінець {рівняння}

Тепер ми раніше заявляли, що дві дії призводять до однакових рівнянь руху, якщо інтеграли відрізняються загальним диференціалом деякої функції F координат, моментів і часу. (Це тому, що при додаванні такої функції до integrand, внесок функції в інтеграл - це лише різниця між її значеннями на двох (фіксованих) кінцях, тому в зміні шляху між кінцями, щоб мінімізувати загальний інтеграл і таким чином генерувати рівняння руху, цей точний диференціальний \(dF\)не робить внеску.)

Тобто, два інтеграли дії будуть зведені до мінімуму на одному шляху через фазовий простір за умови, що інтеграли відрізняються точним диференціалом:

\ begin {рівняння}
\ sum_ {i} p_ {i} d q_ {i} -H d t=\ sum_ {i} р _ {i} д Q_ {i} -H ^ {\ прайм} д t+d F
\ кінець {рівняння}

\(F\)називається генеруючою функцією перетворення. Переставляючи рівняння вище,

\ begin {рівняння}
d F=\ sum_ {i} p_ {i} d q_ {i} -\ sum_ {i} P_ {i} d Q_ {i} +\ лівий (H ^ {\ правий} -Н\ праворуч) d t
\ end {рівняння}

Зверніть увагу, що диференціали тут є\ (\ begin {рівняння}
d q_ {i}, d Q_ {i}, d t
\ end {рівняння}\), тому це природні змінні для вираження генеруючої функції.

Тому ми запишемо його як\ (\ begin {рівняння}
F (q, Q, t)
\ end {рівняння}\),

і з виразу для\ (\ begin {рівняння}
d F
\ end {рівняння}\) вище,

\ почати {рівняння}
p_ {i} =\ розрив {\ частковий F (q, Q, t)} {\ частковий q_ {i}},\ квад P_ {i} =-\ розрив {\ частковий F (q, Q, t)} {\ частковий Q_ {i}},\ квад H ^ {\ прайм} =H+\ frac {\ частковий F (q, Q, t)} {\ часткове t}
\ кінець {рівняння}

Давайте ще раз підкреслимо, що канонічне перетворення загалом змішує координати та моменти - вони однакові змінні, з цієї гамільтонової точки зору. Їх навіть можна обміняти: на систему з одним ступенем свободи, наприклад, перетворення

\ begin {рівняння}
Q = p,\ квадрат p=-q
\ end {рівняння}

це абсолютно гарне канонічне перетворення (перевірити рівняння Гамільтона в нових змінних), хоча це перетворює позицію в імпульс і навпаки!

Якщо це конкретне перетворення застосовується до простого гармонічного осцилятора, гамільтоніан залишається тим самим (ми беремо\ (\ begin {рівняння}
H=\ frac {1} {2}\ left (p^ {2} +q^ {2}\ right)
\ end {рівняння}\), тому диференціал\(dF\) генеруючої функції (наведено вище) не має\ (\ begin {рівняння}
H^ {\ prime} -H
\ end {рівняння}\) термін, це просто

\ begin {рівняння}
d F (q, Q) =p d Q-P d Q
\ кінець {рівняння}

Генеруюча функція для цього перетворення легко знайти

\ begin {рівняння}
F (q, Q) =Q q
\ кінець {рівняння}

з якого

\ begin {рівняння}
д F = Q d q+q д Q = п д Q-p d Q
\ кінець {рівняння}

як потрібно.

Іншим канонічним перетворенням для простого гармонічного осцилятора є\ (\ begin {рівняння}
q=\ sqrt {2 P}\ sin Q,\ quad p=\ sqrt {2 P}\ cos Q
\ end {рівняння}\). Ви будете досліджувати це в домашніх завданнях.