10.2: Загальні та канонічні перетворення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75524

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У гамільтонівському підході ми знаходимося у фазовому просторі з системою координат, що має позиції та моменти на рівних. Тому можна думати про більш загальні перетворення, ніж точкове перетворення (яке було обмежено координатами позиції).

Ми можемо мати перетворення, які змішують змінні позиції та імпульсу:

\ begin {рівняння}
Q_ {i} =Q_ {i}\ лівий (p_ {i}, q_ {i}, t\ правий),\ квадрат P_ {i} =P_ {i}\ ліворуч (p_ {i}, q_ {i}, t\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

де\ (\ begin {рівняння}
\ left (p_ {i}, q_ {i}\ right)
\ end {рівняння}\) означає весь набір вихідних змінних.

У цих оригінальних змінних рівняння руху мали приємну канонічну форму Гамільтона,

\ begin {рівняння}
\ точка {q} _ {i} =\ dfrac {\ частковий H} {\ частковий р_ {i}},\ квадратний\ точка {p} _ {i} =-\ dfrac {\ частковий H} {\ частковий q_ {i}}
\ кінець {рівняння}

Зазвичай речі не будуть такими простими в нових змінних, але виявляється, що багато «природних» перетворень, що виникають в динаміці, наприклад, що відповідають ходу вперед у часі, зберігають форму канонічних рівнянь Гамільтона, тобто

\ begin {рівняння}
\ точка {Q} _ {i} =\ часткова H ^ {\ prime}/\ часткова P_ {i},\ quad\ dot {P} _ {i} =-\ часткова H^ {\ prime}/\ часткова Q_ {i},\ текст {для нового} H ^ {\ prime} (P, Q).
\ end {рівняння}

Перетворення, яке зберігає канонічну форму рівнянь Гамільтона, вважається канонічним.

(Примітка жаргону: ці перетворення іноді називають контактними перетвореннями.)