9.3: Скорочена дія

Записуючи дію в інтегральній формі по цьому постійному енергетичному шляху, ми можемо тривіально зробити тимчасовий інтеграл:

\[ S=\int \sum_{i} p_{i} d q_{i}-E\left(t-t_{1}\right)=S_{0}-E\left(t-t_{1}\right) \]

Тому з результату\( \delta S=-E \delta t \) обов'язково випливає, що

\[ \delta S_{0}=\delta \int \sum_{i} p_{i} d q_{i}=0 \]

\( S_{0} \)називається скороченим дією: це принцип Мопертюа.

Скорочена дія для фізичного шляху є мінімальним серед усіх шляхів, що задовольняють енергозбереження загальною енергією E і проходять через визначену кінцеву точку - нам все одно, коли. Зауважте, що не всі значення E працюватимуть - наприклад, якщо ми почнемо ставити м'яч з низької точки в зелену, нам потрібно буде дати йому достатньо енергії, щоб спочатку вийти з дупла. Але будуть дійсні фізичні шляхи для широкого діапазону енергетичних значень, оскільки кінцевий час прибуття є гнучким.

Природно, оскільки це шлях через простір конфігурації, для оцінки скороченого дії

\[ S_{0}=\int \sum_{i} p_{i} d q_{i} \]

вона повинна бути виражена в терміні q. Для звичайного лагранжа\( L=T\left(q_{i}, \dot{q}_{i}\right)-V\left(q_{i}\right) \), з\( T=\frac{1}{2} \sum a_{i k}(q) \dot{q}_{i} \dot{q}_{k} \), і момента

\[ p_{i}==\sum a_{i k}(q) \dot{q}_{k} \]

знаходимо скорочене дію

\[ S_{0}=\int \sum_{i} p_{i} d q_{i}=\int \sum_{i} a_{i k} d q_{i} d q_{k} / d t \]

Це дійсно інтеграл уздовж шляху в конфігураційному просторі, але нам потрібно позбутися від dt. Фізично ми можемо побачити, як це зробити - оскільки ми знаємо загальну енергію E, кінетична енергія в точці\( E-V\left(q_{i}\right) \) така, що визначає швидкість, отже, час\( d t \text { to move by } d q_{i} \).

Тобто (після Ландау)

\[ E-V(q)=\frac{1}{2} \sum a_{i k}(q) \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}=\frac{\sum a_{i k}(q) d q_{i} d q_{k}}{2(d t)^{2}} \]

з якого

\[ d t=\sqrt{\sum \frac{a_{i k} d q_{i} d q_{k}}{2(E-V)}} \]

(Це не схоже на дуже здоровий математичний об'єкт, але, як ви побачите, це нормально.)

Звідси

\[ S_{0}=\int \sum_{i} p_{i} d q_{i}=\int \sum_{i} a_{i k} d q_{i} d q_{k} / d t=\int \sqrt{\left[2(E-V) \sum a_{i k} d q_{i} d q_{k}\right]} \]

Взяти дуже простий випадок; якщо немає потенціалу, а просто вільна частка,\( a_{i k}=m \delta_{i k} \) це не що інше, як довжина шляху, помножена на\( \sqrt{2 m E} \), мінімізована прямою лінією між двома точками.

Якщо ми маємо частку масою m в просторово змінному\( V(\vec{r}) \) потенціалі, скорочена дія зводиться до

\[ S_{0}=\int \sqrt{2 m(E-V)} d \ell \]

де\( d \ell \) - елемент довжини шляху. (Це очевидно, насправді - квадратний корінь - це абсолютне значення імпульсу, а вектор імпульсу, звичайно, вказує уздовж шляху.)

Матриця, яку\(a_{i k}\) іноді називають матрицею маси, очевидно, є метрикою, мірою в просторі конфігурації, за допомогою якої вимірюється «довжина» шляхів, і особливо мінімальний шлях дії.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Використовуйте принцип Мопертюя, щоб знайти шлях гарматного ядра, енергія E, що стріляє по цілі, яка знаходиться на відстані х метрів по горизонталі, як гармата, так і ціль знаходяться на рівні моря (думаю, кораблі!).