8.7: Як p, q дійсно можуть бути незалежними змінними?

Спочатку може здатися трохи дивним, що зміна p, q як незалежних змінних призводить до тих самих рівнянь, що і мінімізація Лагранжа, де ми змінювали лише q, і ця варіація «замкнула» варіацію\ (\ begin {equation}
\ dot {q}
\ end {рівняння}\). І, чи не p визначено через\ (\ begin {рівняння}
q,\ dot {q}\ text {bу} p=\ частковий L/\ частковий\ точка {q}
\ кінець {рівняння}\), який є деякою функцією\ (\ begin {рівняння}
q,\ точка {q}?
\ end {рівняння}\)? Так що не змінюючи q автоматично визначати варіацію р?

Відповідь: ні, p не визначається як\ (\ begin {рівняння}
p=\ частковий L/\ partial\ dot {q}
\ end {рівняння}\) від початку в формулюванні Гамільтона. У цьому гамільтонівському підході p, q дійсно приймаються як незалежні змінні, потім змінюючи їх, щоб знайти мінімальний шлях, дає рівняння руху, включаючи співвідношення між p та\ (\ begin {рівняння}
q,\ dot {q}
\ end {рівняння}\)

Це відбувається наступним чином: вздовж мінімального шляху дій ми щойно встановили, що

\ begin {рівняння}
d H (p, q) =\ точка {q} д р-\ точка {p} d q
\ end {рівняння}

Ми також маємо, що\ (\ begin {рівняння}
L=p\ dot {q} -H
\ end {рівняння}\) так (перетворення Лежандра!)

\ begin {рівняння}
d L (q,\ точка {q}) =р д\ точка {q} +\ точка {p} d q
\ end {рівняння}

з якого, по фізичному шляху,\ (\ begin {рівняння}
p =(\ partial L/\ partial\ dot {q}) _ {q\ text {константа}}
\ end {рівняння}\). Тож ця ідентичність, раніше написана як визначення p, зараз виникає як наслідок мінімізації дії у фазовому просторі.