7.3: Ідентичність Якобі
- Page ID
- 74961
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Ще одна важлива ідентичність, задоволена дужками Пуассона, - ідентичність Якобі.
\ begin {рівняння}
[f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] =0
\ end {рівняння}
Це можна довести неймовірно виснажливим методом просто відпрацювання. Більш продуманий доказ представлений Ландау, але ми не переживаємо його тут. Як не дивно, ідентичність Якобі набагато легше довести в її квантово-механічному втіленні (де дужка просто позначає комутатор двох матричних операторів,\ (\ begin {рівняння}
[a, b] =a b-b a)
\ end {рівняння}\) Ідентичність Якобі відіграє важливу роль у загальній теорії відносності .