7.2: Інтерлюдія - трохи історії квантової механіки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74980

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

На цьому етапі повинно бути зрозуміло, що дужка Пуассона дуже тісно пов'язана з комутатором в квантовій механіці. У звичайному квантово-механічному позначенні оператор імпульсу

\[p=-i \hbar \dfrac{d}{d x},\]

тому комутатор (який діє на хвильову функцію, запам'ятайте)

\[[p, f(x)] \psi=-i \hbar[ \dfrac{d}{d x}, f(x)] \psi=-i \hbar(d(f \psi) / d x-f d \psi / d x)=-i \hbar( \frac{d f}{d x}) \psi\]

ідентичний результату дужки Пуассона, помноженому на константу\(-i \hbar\).

Перша успішна математична формулювання квантової механіки, в 1925 році (до рівняння Шредінгера!) був Гейзенберг. Як відомо, він був хлопцем з принципом невизначеності: він зрозумів, що ви не можете виміряти імпульс і положення чого-небудь одночасно. Він представляв стани квантової системи як вектори в деякому гільбертовому просторі, а динамічні змінні як матриці, що діють на ці вектори. Він інтерпретував результат вимірювання як знаходження власної величини матриці. Якщо дві змінні не могли бути виміряні одночасно, матриці мали ненульовий комутатор. Зокрема, для позиції та імпульсу частинки задовольняються матричні зображення\([p, x]=-i \hbar\).

Дірак здійснив зв'язок з дужками Пуассона на довгій недільній прогулянці, обмірковуючи uv−vu Гейзенберга (як це було написано). Він раптово, але тьмяно згадав, що він назвав «цими дивними величинами» - дужки Пуассона - які, на його думку, можуть мати властивості, відповідні квантовому математичному формалізму, який будував Гейзенберг. Але він не мав доступу до передових книг динаміки, поки бібліотека коледжу не відкрилася наступного ранку, тому він провів безсонну ніч. Перше, що в понеділок, він прочитав відповідний біт аналітичної динаміки Віттакера, і побачив, що він правильний. (З біографії Хельге Крага.)

Дірак продовжував адаптувати рівняння

\[\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+[H, f]\]

до квантової механіки: для незалежних від часу функцій,

\[\frac{d f}{d t}=[H, f]\]

стає

\[i \hbar \dot{f}=[f, H]\]

для розвитку часу оператора в картині Гейзенберга, де вектори стану замкнутих систем не змінюються за часом (на відміну від картини Шредінгера, де вектори змінюються, а оператори залишаються постійними).