5.3: Віріальна теорема

Для потенційної енергії, однорідної в координатах, ступеня\(\begin{equation}k\end{equation}\), скажімо, і просторово обмеженого руху, існує просте співвідношення між середніми за часом кінетичної енергії,\(\begin{equation}\bar{T}, \text { and potential energy, } \bar{U} \end{equation}\). Це називається віріальна теорема.

Теорема\(\PageIndex{1}\): Virial Theorem

\[ 2 \bar{T}=k \bar{U}\]

Доказ

Так як

\[ T=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} \vec{v}_{i}^{2}, \quad \vec{p}_{i}=m_{i} \vec{v}_{i}=\partial T / \partial \vec{v}_{i}\]

у нас є

\[ 2 T=\sum_{i} \vec{p}_{i} \cdot \vec{v}_{i}=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i} \vec{p}_{i} \cdot \vec{r}_{i}\right)-\sum_{i} \vec{r}_{i} \cdot \dot{\vec{p}}_{i}\]

Тепер ми усереднюємо терміни в цьому рівнянні протягом дуже довгого часу, тобто візьмемо

\[ \bar{f}=\lim _{\tau \rightarrow \infty} \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} f(t) d t\]

Оскільки ми сказали, що орбіти обмежені в просторі, і ми припускаємо також в імпульсі, точний диференціальний термін сприяє

\[ \frac{1}{\tau}\left[\left(\sum_{i} \vec{p}_{i} \cdot \vec{r}_{i}\right)_{\text {at final }}-\left(\sum_{i} \vec{p}_{i} \cdot \vec{r}_{i}\right)_{\text {at initial }}\right] \rightarrow 0 \]

в межі нескінченного часу.

Отже, у нас є усереднене час

\[2 \bar{T}=\sum_{i} \vec{r}_{i} \cdot \partial U / \partial \vec{r}_{i} \]

а для потенційної енергії однорідна функція ступеня\(k\) в координатах, з теореми Ейлера:

\[ 2 \bar{T}=k \bar{U}\]

Так, наприклад, в простому гармонічному осциляторі середня кінетична енергія дорівнює середній потенційній енергії, а для системи зворотно-квадратна середня кінетична енергія дорівнює половині середньої потенційної енергії за величиною, а протилежного знаку (звичайно позитивної).