5.2: Лікування лагранжа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74959

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

(Тут слідуємо за Ландау.) Оскільки рівняння руху генеруються мінімізацією дії, яка є інтегралом Лагранжа вздовж траєкторії, рух не вплине, якщо Лагранжа помножити на постійну. Якщо потенційна енергія є однорідною функцією координат, масштабування помножить її на постійний коефіцієнт. Якщо наша система складається з частинок, які взаємодіють за допомогою такої потенційної енергії, можна буде масштабувати час так, щоб, масштабуючи як простір, так і час, Лагранж множився на загальну константу, тому рівняння руху будуть виглядати однаково.

Зокрема, якщо\(U\) потенційна енергія однорідна ступеня,\(\begin{equation}k\end{equation}\) а просторові координати масштабуються коефіцієнтом\ (\ begin {рівняння}
\ alpha
\ end {рівняння}\)

\ begin {рівняння}
(\ альфа/\ бета) ^ {2} =\ альфа^ {k},\ quad\ beta=\ альфа^ {1-\ гідророзриву {1} {2} k}
\ end {рівняння}

Для планетарних орбіт,\ (\ begin {рівняння}
k=-1,\ text {so}\ beta^ {2} =\ alpha^ {3}
\ end {рівняння}\), підтверджуючи нашу руку, що махає вище.

Для простого гармонічного осцилятора,\ (\ begin {рівняння}
U (\ vec {r})\ propto\ vec {r} ^ {2}\ text {so} k=2\ text {і}\ beta=0
\ end {рівняння}\) Що це означає? Масштабування орбіти не впливає на час - час коливань завжди однаковий.

Падіння під гравітацією:\ (\ begin {рівняння}
k=1,\ beta=\ sqrt {\ alpha,} x\ propto t^ {2}
\ end {рівняння}\) Отже, подвоєння шкали часу вимагає чотириразового збільшення шкали довжини, щоб отримати масштабований рух, ідентичний оригіналу.