5.1: Деякі приклади

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74970

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Подібні трикутники просто масштабовані вгору (або вниз) версії один одного, тобто вони мають однакові кути. Масштабування означає те саме в механічній системі: якщо планета може обійти сонце на заданій еліптичній орбіті, інша планета може перейти у збільшеній версії цього еліпса (сонце, що залишається у фокусі). Але це займе більше часу: тому ми не можемо просто масштабувати просторові розміри, щоб отримати те саме рівняння руху, ми повинні також масштабувати час, а не загалом за тим же коефіцієнтом.

Фактично, ми можемо встановити відносне масштабування простору та часу в цьому випадку за допомогою дуже простого аналізу розмірів. Ми знаємо, що радіальне прискорення планети йде як зворотний квадрат відстані, так

\[\text {(radial acceleration)} \times \text{(distance) }^{2}= \text{constant}\]

розмірність цього виразу

\[L T^{-2} L^{2}=L^{3} T^{-2},\]

тому

\[T^{2} \propto L^{3}.\]

квадрат часу однієї орбіти пропорційний кубу розміру орбіти. Трохи більш явно, прискорення

\[\propto G M_{\mathrm{Sun}} / r^{2},\]

так що для того ж\(G M_{\mathrm{Sun}}\), якщо ми подвоїмо розмір орбіти, рівняння буде те ж саме, але з орбітальним часом вгору\(2 \sqrt{2}\).

Галілей встановив, що справжні механічні системи, такі як людина, не є інваріантними в масштабі. Гігант в десять разів більше лінійних розмірів людини зламав би стегно на першому кроці. Справа в тому, що вага буде збільшуватися в 1000 разів, міцність кістки, що йде як площа поперечного перерізу, тільки на 100.

Механічна схожість має важливе значення при побудові малих моделей великих систем. Особливо важливим додатком є потік рідини, наприклад, при оцінці сил опору рідини на рухомому кораблі, літаку або автомобілі. Існує два різних типи опору рідини: в'язкий фрикційний опір та інерційний опір, останній викликаний тілом, який повинен відхиляти середовище під час руху. Схеми течії залежать від відносної важливості цих двох сил опору, це безрозмірне відношення, інерційне/в'язке, називається числом Рейнольдса. Щоб дати значущі результати, швидкість повітряного потоку навколо моделей повинна бути відрегульована, щоб дати моделі таке ж число Рейнольдса, що і реальна система.