4.12: Приклад 2- Лагранжева постановка задачі центральної сили

Простий приклад механіки Лагранжа наводиться задачею центральної сили, масою\(m\), на яку діє сила

\ (\ begin {рівняння}
F_ {r} =-d U (r)/d r
\ end {рівняння}\)

Щоб протиставити підходи Ньютона та Лагранжа, ми спочатку розглянемо задачу, використовуючи просто\ (\ begin {рівняння}
\ vec {F} =m\ vec {a}
\ end {equation}\). Щоб скористатися обертальною симетрією, скористаємося координатами\ (\ begin {рівняння}
(r,\ theta)
\ end {рівняння}\) і знайдемо вираз для прискорення стандартним трюком диференціації комплексного числа\ (\ begin {рівняння}
z=r e^ {i\ theta}
\ завершити {рівняння}\) двічі, щоб отримати

\ begin {рівняння}
м\ ліворуч (\ ddot {r} -r\ точка {\ тета} ^ {2}\ праворуч) =-d U (r) /d r
\ end {рівняння}

\ begin {рівняння}
m (r\ ddot {\ тета} +2\ точка {r}\ точка {\ тета}) =0
\ кінець {рівняння}

Друге рівняння інтегрується негайно, щоб дати

\ begin {рівняння}
м r^ {2}\ точка {\ тета} =\ ell
\ end {рівняння}

постійна, момент імпульсу. Потім це може бути використано для усунення\ (\ begin {рівняння}
\ dot {\ theta}
\ end {рівняння}\) у першому рівнянні, даючи диференціальне рівняння для\ (\ begin {рівняння}
r (t)
\ end {рівняння}\).

Підхід Лагранжа, з іншого боку, спочатку пише

\ begin {рівняння}
L=T-U=\ розриву {1} {2} м\ ліворуч (\ точка {r} ^ {2} +r^ {2}\ точка {\ тета} ^ {2}\ праворуч) -U (r)
\ кінець {рівняння}

і введіть його в рівняння

\ begin {рівняння}
\ почати {масив} {l}
\ frac {d} {d t}\ лівий (\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ точка {r}}\ праворуч) -\ лівий (\ frac {\ частковий L} {\ частковий R}\ правий) =0\\ гідророзриву {d} {d t}\ ліворуч (
\ frac {\ частковий L} {\ частковий L} {\ частковий L} {частковий L} {\ частковий L}\ частковий\ точка {\ тета}}\ праворуч) -\ лівий (\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ тета}\ правий) =0
\ end {масив}
\ end {рівняння}

Зауважте тепер, що оскільки L не залежить від\(\theta\), друге рівняння дає відразу:

\ begin {рівняння}
\ frac {\ часткова L} {\ часткова\ точка {\ тета}} =\ mathrm {константа}
\ кінець {рівняння}

і насправді\ (\ begin {рівняння}
\ часткова L/\ часткова\ точка {\ тета} =m r^ {2}\ dot {\ theta}
\ end {рівняння}\) кутовий момент, ми будемо називати його\ (\ begin {рівняння}
\ ell
\ end {рівняння}\)

Перший інтеграл (див. Вище) дає ще одну константу:

\ begin {рівняння}
\ точка {r}\ frac {\ часткова L} {\ часткова\ точка {r}} +\ точка {\ тета}\ гідророзриву {\ часткова L} {\ часткова\ точка {\ тета}} -L=\ mathrm {константа}
\ кінець {рівняння}

Це просто

\ begin {рівняння}
\ гідророзриву {1} {2} м\ ліворуч (\ точка {r} ^ {2} +r^ {2}\ точка {\ тета} ^ {2}\ праворуч) +U (r) =E
\ end {рівняння}

енергія.

Збереження кутового моменту,\ (\ begin {рівняння}
m r^ {2}\ dot {\ theta} =\ ell
\ end {рівняння}\), потім дає

\ begin {рівняння}
\ гідророзриву {1} {2} м\ ліворуч (\ точка {r} ^ {2} +\ frac {\ ell^ {2}} {m^ {2} r^ {2}}\ праворуч) +U (r) =E
\ end {рівняння}

надання диференціального рівняння першого порядку для радіального руху як функції часу. Розберемося з цим докладніше пізніше. Зверніть увагу, що це еквівалентно частинці, що рухається в одному вимірі в початковому потенціалі плюс ефективний потенціал від терміна моменту моменту моменту моменту моменту моменту:

\ begin {рівняння}
E=\ гідророзриву {1} {2} м v^ {2} +U (r) +\ гідророзриву {\ ell^ {2}} {m^ {2} r^ {2}}
\ end {рівняння}

Це можна зрозуміти, розуміючи, що для фіксованого моменту моменту, чим ближче частка наближається до центру, тим більшою має бути її швидкість в тангенціальному напрямку, тому, щоб зберегти загальну енергію, її швидкість в радіальному напрямку повинна знижуватися, якщо тільки вона не знаходиться в дуже сильно привабливому потенціал (звичайний гравітаційний або електростатичний потенціал недостатньо сильний), тому радіальний рух еквівалентний існуючому потенціалу плюс\ (\ begin {рівняння}
\ ell^ {2}/m^ {2} r^ {2}
\ end {рівняння}\)

термін, який часто називають «відцентровим бар'єром».

Вправа: наскільки сильним повинен бути потенціал для подолання відцентрового бар'єру? (Це може статися в чорній дірі!)