4.11: Приклад 1- Один ступінь свободи- Машина Етвуда

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75700

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У 1784 році преподобний Джордж Етвуд, наставник Трініті-коледжу, Кембридж, придумав велику демонстрацію для пошуку г. Традиційний ньютонівський розв'язок цієї задачі полягає в тому, щоб записати\ (\ begin {рівняння}
F=m a
\ end {рівняння}\) для двох мас, а потім усунути напругу T. (Щоб все було просто, ми нехтуємо обертальною інерцією верхнього шківа.)

Підхід Лагранжа, звичайно, полягає в тому, щоб записати Лагранжа і вивести рівняння руху.

Вимірюючи гравітаційну потенційну енергію від верхньої осі колеса, потенційна енергія

\ begin {рівняння}
U (x) =-m_ {1} g x-m_ {2} g (\ ell-x)
\ end {рівняння}

і Лагранж

\ почати {рівняння}
L=T-U =\ розрив {1} {2}\ ліворуч (m_ {1} +m_ {2}\ праворуч)\ точка {x} ^ {2} +m_ {1} g x+m_ {2} g (\ ell-x)
\ кінець {рівняння}

Рівняння Лагранжа:

\ begin {рівняння}
\ frac {d} {d t}\ лівий (\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ точка {x}}\ правий) -\ frac {\ частковий L} {\ частковий x} =\ лівий (m_ {1} +m_ {2}\ правий)\ ddot {x} -\ лівий (m_ {1} -m_ {2}\ правий)\ ddot {x} -\ лівий (m_ {1} -m_ {2}\ правий) g=0
\ end {рівняння}

дає рівняння руху всього за один крок.

Як правило, досить легко з'ясувати кінетичну енергію та потенційну енергію системи, і тим самим записати Лагранжа. Це, безумовно, менше роботи, ніж ньютонівський підхід, який передбачає стримуючі сили, такі як напруга в струні. Ця сила навіть не з'являється в підході Лагранжа! Інші сили обмеження, такі як нормальна сила для кульки на дроті, або нормальна сила для частинки, що рухається по поверхні, або напруга в струні маятника - жодна з цих сил не з'являється в Лагранжі. Зверніть увагу, однак, що ці сили ніколи не роблять жодної роботи.

З іншого боку, якщо вас насправді цікавить натяг в струні (чи зламається вона?) ви використовуєте метод Ньютона, або, можливо, працюєте назад від рішення Лагранжа.