4.10: Перший інтеграл- Енергозбереження та Гамільтоніан

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75715

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Оскільки рівняння Лагранжа є саме результатом обчислення варіацій, з нашого попереднього обговорення випливає, що якщо Лагранж не має явної залежності від часу, то:

\ begin {рівняння}
\ sum_ {i}\ точка {q} _ {i}\ frac {\ часткова L} {\ часткова\ точка {q} _ {i}} -L=\ mathrm {константа}
\ кінець {рівняння}

(Це лише перший інтеграл\ (\ begin {рівняння}
y^ {\ prime}\ частковий f/\ partial y^ {\ prime} -f=\ text {константа}
\ end {рівняння}\) обговорювався раніше, тепер з n змінними.)

Ця константа руху називається енергією системи і позначається Е. ми говоримо, що енергія зберігається, навіть за наявності зовнішніх потенціалів - за умови, що ці потенціали не залежать від часу.

(Ми просто згадаємо, що функція з лівого боку,\ (\ begin {рівняння}
\ sum_ {i}\ точка {q} _ {i}\ часткова L/\ часткова\ точка {q} _ {i} -L
\ end {рівняння}\)

є гамільтоном. Ми не обговорюємо це далі на цьому етапі, тому що, як ми з'ясуємо, це більш природно трактується в інших змінних.)

Ми зараз розглянемо пару простих прикладів лагранжевого підходу.