Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.7: Але чому?

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75699

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У принцип Ферма було легко повірити, коли було зрозуміло, що світло - це хвиля. Уявляючи, що хвиля дійсно поширюється по всіх шляхах, а для світла зміна фази вздовж певного шляху - це просто час, необхідний для подорожі цим шляхом, виміряним в одиницях часу коливання світлової хвилі. Це означає, що якщо сусідні шляхи мають однакову довжину, спочатку впорядкувати світлові хвилі вздовж них додаватимуться злагоджено, інакше вони будуть заважати і, по суті, скасовувати. Отже, шлях найменшого часу є дуже сприятливим, і коли ми дивимось на шкалу, набагато більшу, ніж довжина хвилі світла, ми навіть не бачимо дифракційних ефектів, викликаних недосконалим скасуванням, світлові промені також можуть бути потоками частинок, таємничим чином вибираючи шлях найменшого часу.

    Так що це має відношення до принципу Гамільтона? Все. Стандартним методом квантової механіки в наші дні є так звана сума над шляхами, наприклад, щоб знайти амплітуду ймовірності, щоб електрон переходив з однієї точки в іншу в даний час під заданим потенціалом, ви можете підсумувати всі можливі шляхи, які він може зайняти, множивши кожен шлях на коефіцієнт фази: і цей фазовий коефіцієнт не що інше, як інтеграл дії Гамільтона, поділений на постійну Планка,\ (\ begin {рівняння}
    S/\ hbar
    \ end {рівняння}\). Отже, справжня хвильова природа всіх систем квантової механіки гарантує, що в класичній межі\ (\ begin {рівняння}
    S\ gg\ hbar
    \ end {рівняння}\)

    чітко визначений шлях динамічної системи буде найменшою дією.

    Історична виноска: Лагранж розробив ці методи в класичній книзі, яку Гамільтон назвав «науковою поемою». Механіка думки Лагранжа належним чином ставилася до чистої математики, це була своєрідна геометрія в чотирьох вимірах (простір і час). Гамільтон першим використав принцип найменшої дії, щоб вивести рівняння Лагранжа в теперішньому вигляді. Він створив найменший формалізм дій безпосередньо з принципу Ферма, розглянутого в середовищі, де швидкість світла змінюється залежно від положення та напрямку променя. Він бачив механіку як представлену геометричною оптикою у відповідному просторі вищих розмірів. Але йому, мабуть, не прийшло в голову, що це може бути тому, що це була дійсно хвильова теорія! (Детальніше див. Арнольд, Математичні методи класичної механіки.)