4.4: Кутовий момент

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75749

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Збереження імпульсу, що випливає з інваріантності Лагранжа на зміщення в довільних напрямках у просторі, однорідність простору, збереження моменту моменту є наслідком ізотропії простору - немає бажаного напрямку.

Тож кутовий імпульс ізольованого тіла в просторі є інваріантним, навіть якщо тіло не симетричне саме по собі.

Стратегія така ж, як і раніше, за винятком тепер замість нескінченно невеликого зміщення ми робимо нескінченно мале обертання,

\ begin {рівняння}
\ дельта\ vec {r} =\ дельта\ vec {\ phi}\ times\ vec {r}
\ end {рівняння}

і звичайно швидкості також будуть обертатися:

\ begin {рівняння}
\ дельта\ vec {v} =\ дельта\ vec {\ phi}\ times\ vec {v}
\ end {рівняння}

Ми повинні мати

\ почати {рівняння}
\ дельта L=\ сума_ {i}\ лівий (\ frac {\ частковий L} {\ частковий L} {\ vec {r} _ {i}}\ cdot\ дельта\ vec {r} _ {i} _ {v}}\ cdot\ vec {v}}\ cdot\ vec {v} _ {v} _ {v}
\ end {рівняння}

Тепер\ (\ почати {рівняння}
\ часткова L/\ часткова\ vec {v} _ {i} =\ часткова L/\ часткова\ точка {\ vec {r}} _ {i} =\ vec {p} _ {i}
\ end {рівняння}\) за визначенням та з рівнянь Лагранжа

\ почати {рівняння}
\ часткова L/\ часткова\ vec {r} _ {i} =( d/d t)\ ліва (\ часткова L/\ часткова\ точка {\ vec {r}} _ {i}\ праворуч) =\ точка {\ vec {p}} _ {i}
\ кінець {рівняння}

тому ізотропія простору передбачає, що

\ почати {рівняння}
\ сума_ {i}\ лівий (\ vec {p} _ {i}\ cdot\ дельта\ vec {\ phi}\ раз\ vec {r} _ {i} _ {i} _ {i}\ cdot\ delta\ vec {\ phi}\ times\ vec {v} _ {i}\ праворуч) =0
\ кінець {рівняння}

Зверніть увагу, що другий член однаково дорівнює нулю, оскільки два з трьох векторів у потрійному добутку паралельні:

\ почати {рівняння}
\ лівий (d\ vec {r} _ {i}/д т\ вправо)\ раз\ vec {p} _ {i} =\ vec {v} _ {i}\ раз m\ vec {v} _ {i} =0
\ кінець {рівняння}

Це залишає перший термін. Рівняння можна записати:

\ begin {рівняння}
\ дельта\ vec {\ phi}\ cdot\ frac {d} {d t}\ sum_ {i}\ vec {r} _ {i}\ times\ vec {p} _ {i} =0
\ кінець {рівняння}

Інтегруючи, ми виявляємо, що

\ begin {рівняння}
\ sum_ {i}\ vec {r} _ {i}\ times\ vec {p} _ {i} =\ vec {L}
\ кінець {рівняння}

є константою руху, моментом імпульсу.

Кутовий імпульс системи відрізняється різним походженням. (Подумайте про одну рухому частинку.) Кутовий момент у кадрі спокою часто називають внутрішнім моментом, моментом у кадрі, в якому центр маси знаходиться в положенні\ (\ begin {рівняння}\ vec {R}
\ text {і рухається зі швидкістю}\ vec {V}\ text {is}
\ end {рівняння}\).

\ begin {рівняння}
\ vec {L} =\ vec {L} _ {\ mathrm {см}\ mathrm {кадр}} +\ vec {R}\ times\ vec {P}
\ end {рівняння}

(Вправа: перевірте це.)

Для системи частинок у фіксованому зовнішньому центральному полі\ (\ begin {рівняння}
V (r)
\ end {рівняння}\) система є інваріантною щодо обертань навколо цієї точки, тому кутовий момент навколо цієї точки зберігається. Для поля «циліндрично» інваріантного для обертань навколо осі зберігається кутовий момент навколо цієї осі.