4.2: Імпульс

Інший закон збереження слід, якщо Лагранжа залишається незмінним шляхом зміщення всієї системи на відстань\ (\ begin {рівняння}
\ delta\ vec {r} =\ vec {\ varepsilon}
\ end {рівняння}\). Це, звичайно, означає, що система не може перебувати в якомусь просторово змінному зовнішньому полі - вона повинна бути механічно ізольована.

Природно працювати в декартових координатах для аналізу цього, кожна частинка переміщується на однакову відстань\ (\ begin {рівняння}
\ vec {r} _ {i}\ rightarrow\ vec {r} _ {i} _ {i},\ mathrm {r} =\ vec {r} _ {i} +\ vec {\ varepsilon},\ mathrm {so}
\ end {рівняння}\), так

\ почати {рівняння}
\ дельта L=\ сума_ {i}\ розрив {\ частковий L} {\ частковий\ vec {r} _ {i}}\ cdot\ дельта\ vec {i} _ {i} =\ vec {\ varepsilon}\ cdot\ sum_ {i}\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ vec {r} _ {i}
\ кінець рівняння}

де позначення «диференціація вектором» означає диференціювання щодо кожного компонента, а потім додавання трьох членів. (Я не без розуму від цього позначення, але це Ландау, так що звикайте.)

Для ізольованої системи ми повинні мати\ (\ begin {рівняння}
\ delta L=0
\ end {рівняння}\) на зміщенні, переміщаючи все це через порожній простір в будь-якому напрямку\ (\ begin {рівняння}
\ vec {\ varepsilon}\ text {нічого не змінює, тому повинна бути сума вектора}\ sum_ {i}\ часткове L/\ часткове\ vec {r} _ {i} =0
\ end {рівняння}\), так з декартових рівнянь Ейлера-Лагранжа, написання\ (\ begin {рівняння}
\ vec {r} =\ vec {v}
\ end {рівняння}\)

\ begin {рівняння}
0=\ sum_ {i}\ часткова L/\ часткова\ vec {r} _ {i} =\ сума\ гідророзриву {d} {d t}\ лівий (\ частковий L} {\ partial\ dot {\ vec {r}} _ {i}}\ правий) =\ сума\ frac {d} {d t}\ лівий (\ frac {частковий L} {\ частковий\ vec {v} _ {i}}\ право) =\ frac {d} {d t}\ сума\ фракція {\ частковий L} {\ частковий\ vec {v} _ {i}}
\ кінець {рівняння}

Отже, приймаючи систему до складу частинок маси\ (\ begin {рівняння}
m_ {i}
\ end {рівняння}\) і швидкості\ (\ begin {рівняння}
\ vec {v} _ {i}
\ end {рівняння}\)

\ begin {рівняння}
\ sum_ {i}\ розрив {\ частковий L} {\ частковий\ vec {v} _ {i}} =\ sum_ {i} m_ {i}\ vec {v} _ {i} =\ vec {P} =\ mathrm {константа}
\ кінець {рівняння}

імпульс системи.

Цей закон збереження векторів, звичайно, є трьома окремими законами спрямованого збереження, тому навіть якщо є зовнішнє поле, якщо воно не змінюється в певному напрямку, компонент загального імпульсу в цьому напрямку буде збережений.

У ньютонівській картині збереження імпульсу в замкнутій системі випливає з третього закону Ньютона. Насправді, вищезгаданий аналіз Лагранжа - це дійсно третій закон Ньютона в маскуванні. Оскільки ми працюємо в декартових координатах,

\ (\ begin {рівняння}
\ частковий L/\ partial\ vec {r} _ {i} =-\ частковий V/\ partial\ vec {r} _ {i} =\ vec {F} _ {i}
\ end {рівняння}\) сила на частинку, а якщо немає зовнішніх полів,\ (\ почати {рівняння}
\ sum_ {i}\ partial L/\ partial\ vec {r} _ {я} =0\(i\)
\ end {рівняння}\) просто означає, що якщо скласти всі сили на всі частинки, сума дорівнює нулю. Щоб Лагранж з системи двох частинок був інваріантним при перекладі через простір, потенціал повинен мати вигляд\ (\ begin {рівняння}
V\ left (\ vec {r} _ {1} -\ vec {r} _ {2}
\ право)\ кінець {рівняння}\), з якого автоматично
\ (\ begin {рівняння}\ vec {F} _ 21 }
\ end {рівняння}\).