Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.1: Ще одна проблема мінімізації...

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75663

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ось ще одна проблема мінімізації з 1600-х років, навіть раніше, ніж брахістохрона. Фермат хвацько заявив у 1630-х роках, що промінь світла, що йде від точки А до точки Б, завжди проходить маршрут найменшого часу - добре, це тривіально вірно в одному середовищі, світлові промені йдуть по прямій лінії, але це набагато менш очевидно, якщо, скажімо, A знаходиться в повітрі, а B у склі. Зверніть увагу, що це тісно пов'язане з нашою попередньою темою, обчисленням варіацій - якщо це мінімальний часовий шлях, зміна шляху на невелику кількість не змінить час, прийнятий до першого порядку. (Історична примітка: фактично те, що склало принцип Ферма, було вперше заявлено Альхазеном у Багдаді, близько 1000 р. н.е.)

    Fermat_Snellius.svg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Принцип Ферма в разі заломлення світла на рівній поверхні між (скажімо) повітрям і водою. Враховуючи об'єкт-точку А в повітрі та точку спостереження B у воді, точка заломлення P - це та, яка мінімізує час, витрачений світлом для проходження шляху APB. Якщо шукати необхідне значення x, то виявимо, що кути α і β задовольняють закону Снелла. (Громадське надбання; Клаус-Дітер Келлер через Вікіпедію)

    Це здавалося дуже загадковим, коли вперше широко обговорювалося, в 1600-х роках, в останній половині того століття, і через 1700-х рр., Ньютон був домінуючою фігурою, і він вважав, що світло - це потік частинок. Але як частинка могла з'ясувати найкоротший часовий шлях від А до Б?

    Насправді, був один видатний фізик, Гюйгенс, який думав, що світло може бути хвилею, і, набагато пізніше, це виявилося найважливішим розумінням. Основне заперечення полягало в тому, що хвилі ходять по кутах, принаймні в якійсь мірі, здавалося, що світла немає. (Крім того, вони демонструють дифракційні ефекти, які ніхто не думав, що вони бачили для світла, хоча насправді сам Ньютон спостерігав дифракцію - кільця Ньютона - але мав геніальне пояснення, як завжди, чому його картина частинок може пояснити те, що він бачив.) Так чи інакше, у 1678 році Гюйгенс запропонував наступну картину: це простий початок розуміння поширення хвиль, особливо він опускає фази (пізніше додані Френелем), але це було початком.