1.3: Не так щільно

Насправді, є приховані наближення в вищезгаданому аналізі - з одного боку, ми припустили, що довжина рядка між\(\begin{equation}x \text { and } x+d x \text { is } d x\end{equation}\), але це дійсно ds, де параметр відстані s вимірюється вздовж рядка. По-друге, ми взяли напругу, щоб бути незмінною. Це досить гарне наближення для рядка, яка майже горизонтальна, але подумайте про рядок довжиною в метр, що висить між двома точками на відстані 5 см один від одного, і стає очевидним, що обидва ці наближення хороші лише для майже горизонтальної рядки.

Очевидно, що при майже вертикальній струні натяг врівноважує вагу струни під нею, і повинна бути близькою до нуля внизу, збільшуючись приблизно лінійно з висотою. Не кажучи вже про те, що зрозуміло, що це не парабола, обидві сторони дуже близькі до паралелі біля вершини. Постійне\(\begin{equation}T\end{equation}\) наближення, очевидно, не є хорошим, але Уевелл вирішив цю проблему точно, ще в 1830-х роках.

Те, що він зробив, це працювати з рівнянням статичної рівноваги для кінцевої довжини рядки, один кінець внизу.

Якщо натяг внизу знаходиться\(\begin{equation}T_{0}\end{equation}\) і на відстані s, виміряний уздовж струни, натяг є\(T\), а кут струни до горизонталі є\(\theta\) (див. Діаграму), то рівноважний баланс силових складових дорівнює

\ begin {рівняння} T\ cos\ theta=t_ {0},\ квад Т\ sin\ theta=\ лямбда г с\ кінець {рівняння}

від якого ухил струни

\ begin {рівняння}\ tan\ theta=\ гідророзриву {\ лямбда г} {T_ {0}} s=\ frac {s} {a}\ end {рівняння}

де ми ввели константу\(\begin{equation}a=T_{0} / \lambda g\end{equation}\), яка встановлює шкалу довжини задачі.

Таким чином, ми тепер є рівняння для мережі, з\(\theta\) точки зору s, відстань уздовж рядка. Те, що ми хочемо, хоча це рівняння для вертикального положення з\(y\) точки зору горизонтального положення\(x\), функція\(\begin{equation}y(x)\end{equation}\) для ланцюга.

Тепер ми показали, що нахил

\ begin {рівняння} d y/d x =\ тан\ тета = s/a\ end {рівняння}

і нескінченності пов'язані між собою\(\begin{equation}d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}\end{equation}\), тому склавши ці рівняння

\ begin {рівняння}\ лівий (\ frac {s} {a}\ праворуч) ^ {2} =\ ліворуч (\ frac {d y} {d x}\ праворуч) ^ {2} =\ ліворуч (\ frac {d s} {d x}\ праворуч) ^ {2} -1\ кінець {рівняння}

тобто,

\ почати {рівняння}\ ліворуч (\ розрив {d s} {d x}\ праворуч) ^ {2} =1+\ ліворуч (\ frac {s} {a}\ праворуч) ^ {2} =\ frac {a^ {2} +s^ {2}} {a^ {2}}\ кінець {рівняння}

Взяття квадратного кореня і перестановка

\ begin {рівняння}\ розрив {d s} {\ sqrt {a^ {2} +s^ {2}}} =\ frac {d x} {a}\ end {рівняння}

які можуть бути інтегровані відразу з заміною

\ begin {рівняння} s=a\ sinh\ xi,\ quad d s=a\ cosh\ xi d\ xi\ end {рівняння}

щоб дати просто

\ begin {рівняння} d\ xi=d х/a\ end {рівняння}

який тривіально інтегрується в\(\begin{equation}\xi=(x / a)+b, \text { with } b\end{equation}\) константу інтеграції, або

\ begin {рівняння} s=a\ sinh\ xi=a\ sinh (x/a)\ end {рівняння}

вибір походження\(\begin{equation}x=0 \text { at } s=0, \text { which makes } b=0\end{equation}\)

Але, звичайно, те, що ми хочемо, це крива форма\(\begin{equation}y(x), \text { not } s(x)\end{equation}\). Потрібно усунути\(s\) на користь\(y\). Тобто нам потрібно записати\(y\) як функцію\(s\), потім підставити\(\begin{equation}s=a \sinh (x / a)\end{equation}\)

Нагадаємо, одне з наших перших рівнянь було для нахилу\(\begin{equation}d y / d x=s / a\end{equation}\), і покласти це разом з\(\begin{equation}s=a \sinh (x / a)\end{equation}\) дає

\ begin {рівняння} a d y=s d x = a\ sinh (x/a) d x\ end {рівняння}

інтегруючи в

\ begin {рівняння} y=a\ cosh (x/a)\ кінець {рівняння}

Це шукане рівняння для ланцюгової кривої\(\begin{equation}y(x)\end{equation}\)

Ми відкинули можливу константу інтеграції, яка є лише вертикальним позиціонуванням походження.

Питання: це те саме, що крива ланцюга в підвісному мосту?

(Зверніть увагу, що вертикальні мотузки рівномірно розташовані горизонтально.)