1.2: Жорсткий рядок

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75545

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Давайте візьмемо підказку і подивимося спочатку на шматок рівномірної струни в спокої під високим натягом між двома точками на одній висоті, щоб він був майже горизонтальним.

Кожен шматочок струни знаходиться в статичній рівновазі, тому сили на ній врівноважуються. По-перше, його вага,\(\lambda\) що діє вниз\(\begin{equation}m g=\lambda g d x\end{equation}\), є однорідною масою на одиницю довжини. По-друге, сили натягу на двох кінцях не зовсім врівноважують через невелику зміну нахилу.

Представляючи конфігурацію рядка у вигляді кривої\(\begin{equation}y(x)\end{equation}\), баланс сил дає

\[T \frac{d y(x+d x)}{d x}-T \frac{d y(x)}{d x}=T \frac{d^{2} y}{d x^{2}} d x=\lambda g d x\]

Отже\(\begin{equation}d^{2} y / d x^{2}=\lambda g / T, \text { and } y=(\lambda g / 2 T) x^{2}\end{equation}\), приймаючи найнижчу точку рядка як початок.

Отже, крива - це парабола (але продовжуйте читати!).