1.1: Мережа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75530

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Яка форма ланцюга дрібних ланок, що звисають під силою тяжіння з двох нерухомих точок (одна не безпосередньо під іншою)? Слово контактна (латинська для ланцюга) було придумано як опис цієї кривої не хто інший, як Томас Джефферсон! Незважаючи на зображення, яке слово приводить до розуму ланцюжок ланок, слово контактний фактично визначається як крива, до якої ланцюг наближається в межі прийняття менших і менших ланок, зберігаючи довжину ланцюга постійною. Іншими словами, вона описує підвісну мотузку. Реальний ланцюг однакових жорстких ланок - це свого роду дискретизація контактної мережі.

Ми збираємося проаналізувати цю проблему як вступ до обчислення варіацій. По-перше, ми вирішимо це методом, який ви вже знаєте і любите - просто (подумки) складаючи сили на одному відрізку мотузки. Натяг тягне з обох кінців, вага сегмента діє вниз. Оскільки вона знаходиться в стані спокою, ці три сили повинні додати до нуля. Ми покажемо, що запис рівняння балансу сил дає достатньо інформації, щоб знайти криву ланцюга, що\(\begin{equation}y(x)\end{equation}\) означає висоту\(y\) над землею як функцію горизонтального положення\(x\). Ось ми і розбираємося в механіці проблеми.

Але далі ми беремо зовсім інший підхід: ми припускаємо, що форма ланцюга описується довільною функцією\(\begin{equation}y(x)\end{equation}\), необхідною для переходу між двома фіксованими кінцевими точками і мати загальну довжину, рівну довжині (передбачуваної нерозтягуваної) мотузки, і виробляємо її гравітаційну енергію. Ми знаємо, звичайно, що справжня крива, в якій осідає мотузка, буде мінімальною потенційною енергією. Мотузка знаходиться на дні багатовимірної потенційної ями. Це означає, що будь-яке незначне відхилення від цієї мінімальної форми вплине лише на потенційну енергію другого порядку, в точній аналогії з невеликою зміною положення частинки в мінімальній точці потенційної енергетичної ями.

Таким чином, метод, який називається Обчислення варіацій, полягає в тому, щоб знайти, де похідна потенційної енергії щодо варіацій цієї кривої стає нульовою - це буде мінімальна конфігурація енергії, яку ми шукаємо. Концептуально це набагато складніше, ніж звичайна диференціація щодо однієї або декількох змінних. Ми варіюємо цілу функцію. Ось чому варто було вирішити проблему, використовуючи традиційну статику для початку - це заспокоює нас, що варіаційний підхід працює.

Кембриджський математик Вільям Уіелл, хвацько заявив у несвідомому римі,

І так ніякої сили, як би велика,

може тягнути струну, як би добре,

в горизонтальну лінію,

це повинно бути абсолютно прямим.

(Тривіальний факт: Уівелл мав шлях зі словами - він навіть винайшов деякі слова, які ви використовуєте щодня, наприклад слова вчений, фізик, іон, катод, анод, діелектрик та багато іншого.)