19.10: Додаток - Аналіз форми хвилі

Гармонічне розкладання форми хвилі

Будь-яка лінійна система, яка підпорядковується залежної від часу форсувальної функції\(F( t)\), може бути виражена у вигляді лінійної суперпозиції частотно-залежних розв'язків індивідуального\(a(\omega )\) гармонічного розкладання форсируючої функції. Аналогічно, будь-яка лінійна система, що підлягає просторово-залежній форсувальній функції,\(F(x)\) може бути виражена як лінійна суперпозиція хвильового числозалежного розв'язку індивідуального\(a(k_x)\) гармонічного розкладання форсувальної функції. Аналіз Фур'є забезпечує математичну процедуру перетворення між періодичними формами хвиль і гармонічним змістом, тобто\(F( t) \Leftrightarrow a(\omega )\), або\(F(x) \Leftrightarrow a(k_x)\). Теорема Фур'є стверджує, що будь-яку довільну форсувальну функцію\(F( t)\) можна розкласти на суму гармонічних членів. Наприклад, для залежної від часу періодичної форсувальної функції розкладання може бути косинусним рядом виду.

\[F( t) = \sum^{\infty}_{n=1} \alpha_n \cos(n\omega_0 t + \phi_n) \label{I.1}\]

де\(\omega_0\) - найнижча (фундаментальна) частотна розв'язка. Для аперіодичної функції розкладання косинусів може мати вигляд

\[F( t) = \int^{\infty}_0 \alpha (\omega ) \cos(\omega t + \phi (\omega ))d\omega \label{I.2}\]

Або з взаємодоповнюючих функцій\(F( t) \Leftrightarrow a(\omega )\), або\(F(x) \Leftrightarrow a(k_x)\) є еквівалентними уявленнями гармонічного змісту, які можуть бути використані для опису сигналів і хвиль. Наступні два розділи дають вступ до аналізу Фур'є.

Періодичні системи та ряди Фур'є

Дискретні розв'язки виникають для систем, коли існують періодичні граничні умови. Відповідь періодичних систем може бути описана або в часовій та кутовій частотній областях, або еквівалентно просторовій координаті\(x\) проти відповідного хвильового числа\(k_x\). Для періодичних систем це розкладання призводить до ряду Фур'є, де узагальнена фазова координата\(\phi\) може бути використана для представлення або часових, або просторових координат, тобто з\(\phi = \omega_0 t\) або\(\phi = k_xx\) відповідно. Ряд Фур'є пов'язує два зображення дискретних хвильових розв'язків для таких періодичних систем.

Теорема Фур'є стверджує, що для загальної періодичної системи будь-яка довільна форсувальна функція\(F(\phi)\) може бути розкладена на суму синусоїдальних або косинусоїдальних членів. Підсумовування може бути представлено трьома еквівалентними послідовними розширеннями, наведеними нижче\(\phi = \mathbf{k}_0\cdot \mathbf{r}\), де\(\phi = \omega_0 t\) або, і де\(\omega_0, \mathbf{k}_0\) основна кутова частота та число основних хвиль відповідно.

\[f (\phi) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} [a_n \cos (n\phi) + b_n \sin (n\phi)] \label{I.3}\]

\[f (\phi) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=0} c_n \cos (n\phi + \varphi_n) \label{I.4}\]

\[f (\phi) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=0} d_n \sin (n\phi + \theta_n) \label{I.5}\]

де\(n\) - ціле число, і\(\varphi_n, \theta_n\) фазові зсуви підходять до початкових умов.

Нормальні режими дискретної системи утворюють повний набір розв'язків, що задовольняють наступному співвідношенню ортогональності

\[\int^{2\pi}_0 f_n (\phi) f_m (\phi) d\phi = c_n \delta_{mn} \label{I.6}\]

де\(\delta_{mn}\) - символ дельти Кронекера, визначений у рівнянні\((9.2.10)\). Ортогональність може бути використана для визначення коефіцієнтів рівнянь\ ref {I.3}

\[a_0 = \frac{1}{ \pi} \int^{+\pi}_{ −\pi} f (\phi) d\phi \label{I.7}\]

\[a_n = \frac{1}{ \pi} \int^{+\pi}_{ −\pi} f (\phi) \cos (n\phi) d\phi \label{I.8}\]

\[b_n = \frac{1}{ \pi} \int^{+\pi}_{ −\pi} f (\phi) \sin (n\phi) d\phi \label{I.9}\]

Аналогічно коефіцієнти для\ ref {I.4} і\ ref {I.5} пов'язані з зазначеними вище коефіцієнтами шляхом

\[c^2_n = d^2_n = a^2_n + b^2_n \nonumber\]

Замість простої тригонометричної форми, яка використовується у рівняннях (\ ref {I.3} −\ ref {I.5}), функції косинуса та синуса можуть бути розширені в експоненціальну форму, де

\[\cos \phi = \frac{1}{ 2} ( e^{i\phi} + e^{-i\phi}) \label{I.10} \\ \sin \phi = \frac{−i}{ 2} ( e^{i\phi} − e^{-i\phi})\]

тоді рівняння\ ref {I.3} стає

\[f (\phi) = \sum^{\infty}_{ n=−\infty} g_n e^{in\phi} \label{I.11}\]

де\(n\) - будь-яке ціле число і, з ортогональності, коефіцієнти Фур'є задаються

\[g_n = \frac{1}{ 2\pi} \int^{+\pi}_{ −\pi} f (\phi) e^{n\phi} d\phi \label{I.12}\]

Ці коефіцієнти пов'язані з амплітудами косинусів плюс синус рядів по

\[g_n = \frac{1}{ 2} (a_n − ib_n) \tag{when \(n\) is positive}\]

\[g_n = \frac{1}{ 2} (a_n + ib_n) \tag{when \(n\) is negative}\]

Ці результати показують, що коефіцієнти експоненціального ряду загалом комплексні, і що вони зустрічаються в сполучених парах (тобто уявна частина коефіцієнта\(a_n\) дорівнює, але протилежна за знаком для коефіцієнта\(a_{−n}\)). Хоча введення комплексних коефіцієнтів може здатися незвичним, слід пам'ятати, що реальна частина пари коефіцієнтів позначає величину косинусоїди відповідної частоти, а що уявна частина позначає величину синусоїди. Якщо конкретна пара коефіцієнтів\(a_n\) і\(a_{−n}\) є дійсними, то складова на частоті\(n\omega_0\) - це просто косинус; якщо\(a_n\) і\(a_{−n}\) є чисто уявними, то складова - всього лише синус; а якщо, як в загальному випадку,\(a_n\) і\(a_{−n}\) є комплексними, то обидва косинуси і синусоїдальні терміни присутні.

Використання експоненціальної форми ряду Фур'є породжує поняття «негативна частота». Звичайно,\(f ( t) = a_n \cos \omega_n t\) це хвиля однієї частоти\(\omega_n = n\omega_0\) випромінювань/секунду, і може бути представлена однією лінією висоти\(a_n\) в нормальній спектральній діаграмі. Однак використання експоненціальної форми ряду Фур'є призводить як до позитивних, так і негативних\(\omega\) складових.

Співіснування як негативних, так і позитивних кутових частот\(\pm \omega\) можна зрозуміти при розгляді діаграми Арганда, де реальна складова побудована вздовж\(x\) -осі і уявна складова вздовж\(y\) -осі. Функція\(g_ne^{+i\omega t}\) являє собою вектор довжини\(g_n\), який обертається з кутовою швидкістю\(\omega\) в позитивному напрямку, тобто проти годинникової стрілки, тоді як\(g_ne^{−i\omega t}\) представляє вектор, що обертається в негативному напрямку, тобто за годинниковою стрілкою. Таким чином, сума двох обертових векторів, згідно з рівняннями\ ref {I.3}, призводить до скасування протилежних складових на уявній\(y\) осі і додавання двох\(g_n \cos \omega t\) дійсних складових на\(x\) осі. Віднімання призводить до скасування дійсних\(x\) складових і додавання уявних складових\(y\) осі.

Аперіодичні системи та перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є (також зване інтегралом Фур'є) робить для неповторюваної форми сигналу, що робить ряд Фур'є для повторюваного сигналу. Показано, що лінійний спектр рекурентної періодичної форми імпульсу модифікується зі зменшенням тривалості імпульсу, припускаючи, що період форми хвилі (а отже, і її фундаментальної складової) залишається незмінним. Припустимо тепер, коли тривалість імпульсів залишається фіксованою, але поділ між ними збільшується, породжуючи наростаючий період. В межі залишається тільки один прямокутний імпульс, його сусіди відійшли по обидва боки назустріч\(\pm \infty \). У цьому випадку основна частота\(\omega_0\) прагне до нуля, а гармоніки стають надзвичайно тісно розташованими та зникаючими малими амплітудами, тобто система наближає безперервний спектр.

Математично ця ситуація може бути виражена модифікаціями експоненціальної форми вже виведеного ряду Фур'є. Нехай коефіцієнт фази\(\phi = \omega_0 t\) в Рівнянні\ ref {I.11} тоді

\[g_n = \frac{\omega_0 }{2\pi} \int^{+\pi}_{ −\pi} f ( t) e^{n\omega_0 t} d t = \frac{1}{ \tau} \int^{\frac{\tau }{2}}_{ − \frac{\tau}{ 2}} f ( t) e^{n\omega_0 t} d t \label{I.13}\]

де\(\tau\) - період періодичної сили. Нехай\(G (\omega ) = \tau g_n\)\(\omega = n\omega_0\), і взяти межу для\(\tau \rightarrow \infty \), то Рівняння\ ref {I.12} може бути записана як

\[G (\omega ) = \int^{+\infty}_{ −\infty} f ( t) e^{\omega t}d t \label{I.14}\]

Аналогічно робить ту саму межу для\(\tau \rightarrow \infty\) тоді\(\omega_0 = \frac{2\pi}{ \tau} \rightarrow d\omega\) і Equation\ ref {I.11} стає

\[f ( t) = \sum^{\infty}_{ n=−\infty} \frac{G (\omega )}{ \tau} e^{in\omega_0 t} = \sum^{\infty}_{ n=−\infty} G (\omega ) \frac{\omega_0 }{2\pi} e^{i\omega t} = \frac{1}{ 2\pi} \int^{ +\infty}_{ −\infty} G (\omega ) e^{i\omega t} d\omega \label{I.15}\]

Рівняння\ ref {I.15} показує, як неповторювана форма хвилі часової області пов'язана з її безперервним спектром. Вони відомі як інтеграли Фур'є або перетворення Фур'є. Вони мають центральне значення для обробки сигналів. Для зручності перетворення часто записуються в операторному формалізмі, використовуючи\(\mathcal{F}\) символ у вигляді.

\[f ( t) = \frac{1}{ 2\pi } \int^{ +\infty}_{ −\infty} G (\omega ) e^{i\omega t} d\omega \equiv \mathcal{F}^{−1} \left[ \frac{1}{ 2\pi} G(\omega ) \right] \label{I.16}\]

\[G (\omega ) = \int^{ +\infty}_{ −\infty} f ( t) e^{−i\omega t} d t \equiv \mathcal{F}f( t) \label{I.17}\]

Дуже важливо зрозуміти значення цих двох рівнянь. Перший говорить нам про те, що перетворення Фур'є форми хвилі\(f( t)\) безперервно розподіляється в діапазоні частот між\(\omega = \pm \infty \), тоді як другий показує, як, по суті, форма хвилі може бути синтезована з нескінченного набору експоненціальних функцій форми\(e^{\pm i\omega t}\), кожна зважується відповідне значення\(G(\omega )\). Дуже важливо усвідомити, що ця трансформація може йти будь-яким шляхом однаково, тобто від\(G(\omega )\) до\(f ( t)\) або навпаки. ¹

Приклад\(\PageIndex{1}\): Fourier transform of a single isolated square pulse

Розглянемо єдиний ізольований квадратний імпульс ширини\(\tau\), який описується прямокутною функцією,\(\prod\) визначеною як

\[\prod( t) = \begin{cases} 1 & | t|< \frac{\tau}{ 2} \\ 0 & | t| > \frac{\tau}{2} \end{cases}\nonumber\]

Тобто припустимо, що амплітуда імпульсу дорівнює одиниці між\(−\frac{\tau }{2} \leq t \leq \frac{\tau }{2}\). Потім перетворення Фур'є

\[G (\omega ) = \int^{+\tau}_{ −\tau} 1.e^{−i\omega t} d t = \tau \left(\frac{\sin \frac{\omega \tau}{ 2}}{ \frac{\omega \tau}{ 2 }}\right) \nonumber\]

яка є ненормованою\(sinc(\omega \tau )\) функцією. Зверніть увагу, що ширина імпульсу\(\Delta t = \pm \frac{\tau }{2}\) призводить до частотної огинаючої, яка має перші нулі при\(\Delta\omega = \pm \frac{\pi}{ \tau}\). Таким чином, добуток цих ширин,\(\Delta t \cdot \Delta\omega = \pm \pi\) який не залежить від ширини імпульсу, тобто\(\Delta\omega = \frac{\pi}{ \Delta t}\) є прикладом принципу невизначеності, який застосовується до всіх форм хвильового руху.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Fourier transform of the Dirac delta function

Дельта-функція Дірака - це імпульс надзвичайно короткої тривалості та одиничної площі в\(t = t^{\prime}\) і дорівнює нулю в усі інші часи.\(\delta ( t − t^{\prime} )\) Тобто,

\[1 = \int^{ +\infty}_{ −\infty} \delta ( t − t^{\prime} ) d t \nonumber\]

Функція Дірака, яку іноді називають імпульсною функцією, має багато важливих застосувань для фізики та обробки сигналів. Наприклад, постріл снаряда з гармати дається механічний імпульс, що надає певний імпульс снаряду за дуже короткий час. При інших рівних умовах один цікавиться лише імпульсом, що передається снаряду, тобто тимчасовим інтегралом сили, що прискорює снаряд в гарматі, а не деталі тимчасової залежності сили. Оскільки сила діє дуже короткий час, дельта-функція Дірака може бути використана в таких проблемах.

Як описано в розділі\(3.11\) та додатку J, дельта-функція Дірака використовується при обробці сигналів, коли сигнали відбираються протягом коротких часових інтервалів. Перетворення Фур'є дельта-функції необхідне для обговорення дискретизації сигналів

\[G (\omega ) = \int^{ +\infty}_{ −\infty} \delta ( t − t^{\prime} ) e^{−i\omega t} d t = e^{−i\omega t^{\prime}} \nonumber\]

Оскільки\(e^{−i\omega t}\) по суті є постійною протягом нескінченно малої тривалості часу\(\delta ( t − t^{\prime} )\) функції, а часовий інтеграл\(\delta\) функції є одиницею, таким чином термін\(e^{−i\omega t}\) має одиничну величину для будь-якого значення\(\omega\) і має фазовий зсув\(−\omega ( t − t^{\prime} )\) радіанів. Для\(t^{\prime} = 0\) зсуву фаз дорівнює нулю і, таким чином, перетворення Фур'є\(\delta ( t)\) функції Дірака є\(G(\omega )=1\). Тобто це рівномірний білий спектр для всіх значень\(\omega \).

Аналіз форми сигналу з часовою вибіркою

Альтернативним підходом для розблокування періодичних сигналів, що є доповненням до гармонічного розкладання аналізу Фур'є, є аналіз форми сигналу з вибіркою за часом (дискретний зразок), де амплітуда сигналу вимірюється повторювано через рівні проміжки часу в упорядкованій за часом послідовності, тобто послідовності вибірки миттєвих амплітуд дельта-функції записується. Зазвичай амплітуда-цифровий перетворювач використовується для оцифрування амплітуди для кожного вимірюваного зразка, а цифрові цифри записуються; цей процес називається цифровою обробкою сигналу.

Загальні принципи найкраще пояснити спочатку розглядом відгуку лінійної системи на імпульс ступінчастої функції, за яким слідує квадратний імпульс, і призводить до відгуку імпульсної рушійної сили\(\delta \) -функції.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Відповідь недогашеного лінійного генератора з\(\omega = 10\), і\(\Gamma = 2\) на наступну імпульсну силу. (a) Крок функції сили\(F = 0\) для\(t < 0\) і\(F = m\) для\(t > 0\). (б) Квадратна хвиля сила де\(F = m\)\(0 < t<\tau\) для\(\tau = 3\), а\(F = 0\) в інший час. (c) Імпульс дельта-функції\(P = 1\).

Імпульсна характеристика дельта-функції

Розглянемо рівняння затухаючого осцилятора

\[\ddot{x} + \Gamma \dot{x} + \omega^2_0x = \frac{F ( t)}{ m} \label{I.18}\]

і припустимо, що функція кроку застосовується в той час\(t = 0\). Тобто;

\[\begin{align} \frac{F ( t)}{ m} = 0 && t < 0 && \frac{F ( t)}{ m } = a && t> 0 \label{I.19} \end{align} \]

де\(a\) константа. Початкові умови такі\(x(0) = \dot{x}(0) = 0\).

Перехідне або додаткове рішення - це рішення лінійно затухаючого гармонічного осцилятора

\[\ddot{x} + \Gamma \dot{x} + \omega^2_0x = 0 \label{I.20}\]

Це не залежить від рушійної сили, і рішення наведено в розділі\(3.5\) обговорення лінійно-демпфірованого гармонічного осцилятора.

Конкретне, стійке, рішення легко отримати просто шляхом огляду, оскільки сила є постійною, тобто конкретним рішенням є

\[\begin{aligned} x_S = \frac{a}{ \omega^2_0} && t > 0 && x_S = 0 && t < 0 \end{aligned}\]

Беручи суму перехідних і конкретних розв'язків, використовуючи початкові умови, дає остаточне рішення бути

\[x( t) = \frac{a}{ \omega^2_0} \left[ 1 − e^{− \frac{\Gamma}{2} t} \cos \omega_1 t − \frac{\Gamma e^{− \frac{\Gamma}{2} t}}{ 2\omega_1} \sin \omega_1 t \right] \label{I.21}\]

де\(\omega_1 \equiv \sqrt{ \omega^2_0 − ( \frac{\Gamma}{2} )^2} \). Ця функціональна форма показана на малюнку\(\PageIndex{1a}\). Зауважте, що амплітуда перехідного відгуку дорівнює\(−a\) at,\(t = 0\) щоб скасувати конкретне рішення, коли він переходить до\(+a\). Коливальна поведінка тоді є лише перехідною реакцією.

Квадратний імпульс може генеруватися накладенням двох протилежних знакових крокових функцій, розділених часом,\(\tau\) як показано на малюнку\(\PageIndex{1b}\).

Квадратний імпульс можна прийняти до межі,\(\tau\) коли ширина незначна щодо часу відгуку системи. Можна показати, що впускати\(\tau \rightarrow 0\), але зберігаючи величину повного імпульсу\(P = a\tau\) скінченною для імпульсу в часі\(t_0\), призводить до розв'язку імпульсу\(\delta \) -функції, що виникає при\(t_0\)

\[x( t) = \frac{P}{ \omega_1} e^{− \frac{\Gamma}{2} ( t− t_0)} \sin \omega_1 ( t − t_0) \quad t> t_0 \label{I.22}\]

Ця реакція на імпульс дельта-функції показана\(\PageIndex{1c}\) на малюнку для випадку, коли\(t_0 = 0\). Прикладом може служити відповідь, коли молоток б'є струну фортепіано в\(t = 0\).

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Розкладання функції\(x( t) = 2 \sin ( t)+ \sin (5 t)+ \frac{1}{ 3} \sin (15 t)+ \frac{1}{ 5} \sin (25 t)\) на впорядковану за часом послідовність зразків\(\delta\) -функцій.

Функція розкладання сигналу Гріна

Відповідь лінійно-демпфірованого лінійного генератора на імпульс дельта-функції, який був виражений вище, може бути використаний для використання потужної техніки Гріна для розкладання будь-якої загальної форсувальної функції. Тобто, якщо ведена система лінійна, то застосовується принцип суперпозиції і дозволяє виражати неоднорідну частину диференціального рівняння як суму окремих дельта-функцій. Тобто;

\[\ddot{x} + \Gamma \dot{x} + \omega^2_0 x = \sum^{\infty}_{ n=−\infty} \frac{F_n ( t)}{ m} = \sum^{\infty}_{ n=−\infty} I_n ( t) \label{I.23}\]

Як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\) дискретно-часовий аналіз форми сигналу включає багаторазове вибірку миттєвої амплітуди в регулярній та повторюваній послідовності імпульсів\(\delta \) -функції. Оскільки принцип суперпозиції застосовується для цієї лінійної системи, то форму хвилі можна описати сумою впорядкованої серії дельтафункціональних імпульсів, де\(t^{\prime}\) є час імпульсу. Інтеграція над усіма\(\delta \) -функціональними відповідями, які відбулися в той час\(t^{\prime} \), тобто до часу, що цікавить\(t\), призводить до

\[x ( t) = \int^t_{ −\infty} \frac{F ( t^{\prime} )}{ m\omega_1} e^{− \frac{\Gamma}{2} ( t− t^{\prime} )} \sin \omega_1 ( t − t^{\prime} ) d t^{\prime} \quad t \geq t^{\prime} \label{I.24}\]

Функція Гріна\(G ( t − t^{\prime} )\) визначається

\[G( t − t^{\prime} ) = \frac{1}{ m\omega_1} e^{− \frac{\Gamma}{2} ( t− t^{\prime} )} \sin \omega_1 ( t − t^{\prime} ) \quad t \geq t^{\prime} \label{I.25} \\ = 0 \quad t< t^{\prime} \]

Суперпозиція дозволяє записати підсумовану реакцію системи в цілісній формі

\[x( t) = \int^t_{ −\infty} F( t^{\prime} )G( t − t^{\prime} )d t^{\prime} \label{I.26}\]

що дає остаточну часову залежність примусової системи. Цей повторюваний підхід часової вибірки дозволяє уникнути необхідності використання аналізу Фур'є. Зверніть увагу, що функція Гріна\(G ( t − t^{\prime} )\) включає в себе неявно частоту вільного незатухаючого лінійного генератора\(\omega_0\), вільного демпфірованого лінійного генератора\(\omega_1 \equiv \sqrt{\omega^2_0 − ( \frac{\Gamma}{2} )^2}\), а також коефіцієнт демпфування\(\Gamma \). Доступ до комбінації швидких мікрокомп'ютерів у поєднанні з швидкими цифровими методами вибірки зробив цифровий вибірки сигналу передовою технікою для запису сигналу аудіо, відео та обробки сигналів детектора.

Посилання

¹ Єдина асиметрія в стосунках перетворення Фур'є походить від\(2\pi\) фактора, що походить від того, що за умовністю фізики використовують кутову частоту,\(\omega = 2\pi\nu\) а не частоту\(\nu\). Для відновлення симетрії багато статей використовують коефіцієнт\(\frac{1}{\sqrt{ 2\pi}}\) в обох зв'язках, а не використовують\(\frac{1}{ 2\pi}\) коефіцієнт у Equation\ ref {I.16} та одиницю в Equation\ ref {I.17}.