18.4: Представлення Лагранжа в квантовій теорії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76137

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Класичне поняття канонічних координат і моментів, має простий квантовий аналог, який дозволив Гамільтонова теорія класичної механіки, що базується на канонічних координатах, послужити основою для розвитку квантової механіки. Альтернативна формулювання Лагранжа для класичної динаміки описується в терміні координат і швидкостей, замість координат і моментів. Формулювання Лагранжа та Гамільтона тісно пов'язані між собою, і може здатися, що підхід Лагранжа є більш фундаментальним. Метод Лагранжа дозволяє зібрати воєдино всі рівняння руху і висловити їх як стаціонарні властивості інтеграла дії, і, таким чином, може здатися доцільним базування квантової механіки на теорії Лагранжа класичної механіки. На жаль, рівняння руху Лагранжа передбачають часткові похідні щодо координат, і їх швидкостей, і значення, яке приписується таким похідним, складно в квантовій механіці. Тісна відповідність між дужками Пуассона та правилами комутації, природно, призводить до гамільтонової механіки. Однак Дірак показав, що механіка Лагранжа може бути перенесена на квантову механіку, використовуючи канонічні перетворення, такі, що класичний Лагранж вважається функцією координат в часі\(t\),\(t + dt\) а не координат і швидкостей.

Мотивацією кандидатської дисертації Фейнмана 1942 року під назвою «Принцип найменшої дії в квантовій механіці» було квантування класичної дії на відстані в електродинаміці. Ця теорія прийняла загальну просторово-часову точку зору, для якої класичний гамільтонівський підхід, який використовується в звичайних формулюваннях квантової механіки, непридатний. Фейнман використовував Лагранжа, плюс принцип найменшої дії, щоб лежати в основі свого розвитку квантової теорії поля. Перефразовуючи Нобелівську лекцію Фейнмана, він використав фізичний підхід, який досить відрізняється від звичної гамільтонової точки зору, для якої система обговорюється дуже детально як функція часу. Тобто у вас є поле в цей момент, тоді диференціальне рівняння дає вам поле в більш пізній момент і так далі; тобто підхід Гамільтоніана - це метод диференціального часу. У підході Фейнмана до найменших дій дія описує характер шляху у всьому просторі та часі. Поведінка природи визначається тим, що весь просторово-часовий шлях має певний характер. Використання дії включає як просунуті, так і відсталі терміни, які ускладнюють перетворення назад до гамільтонової форми. Просторово-часовий підхід Фейнмана далеко виходить за рамки цього курсу. Ця тема буде розроблена на курсах підвищення кваліфікації з квантової теорії поля