18.3: Гамільтоніан в квантовій теорії

Представлення матричної механіки Гейзенберга

Алгебраїчне представлення Гейзенберга квантової теорії аналогічно алгебраїчному гамільтонівському представленню класичної механіки і найкраще показує, як квантова теорія еволюціонувала з класичної механіки і пов'язана з нею. Гейзенберг вирішив ігнорувати переважаючі концептуальні теорії, такі як класична механіка, і базував свою квантову теорію на спостережуваних. На цей підхід вплинув успіх давньої квантової теорії Бора та теорії відносності Ейнштейна. Він відмовився від класичних уявлень про те, що канонічні змінні\(p_k, q_k\) можна вимірювати безпосередньо і одночасно. По-друге, він хотів увібрати принцип відповідності безпосередньо в теорію, а не бути спеціальною процедурою, адаптованою до кожної програми. Гейзенберг розглянув Фур'є розкладання амплітуд переходу між дискретними станами і виявив, що добуток сполучених змінних не коммутує. Гейзенберг вперше вивів правильні енергетичні рівні одновимірного гармонічного осцилятора\(E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2})\), оскільки це було значним досягненням. Борн визнав, що дивні правила множення та комутації Гейзенберга для двох змінних, відповідали матричній алгебрі. До 1925 року матрична алгебра була незрозумілою галуззю чистої математики, невідомої або використовуваної фізичним співтовариством. Гейзенберг, Борн, і молодий математик Джордан, розробили правила комутації матричної механіки. Підхід Гейзенберга представляє класичні координати положення та імпульсу\(q, p\) матрицями\(\mathbf{q}\) та\(\mathbf{p}\), з відповідними елементами матриці\(q_{mn}e^{i\omega_{mn}t}\) та\(p_{mn}e^{i\omega_{mn}t}\). Борн показав, що слід матриці

\[H(\mathbf{pq}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{q}}−L \label{18.10}\]

дає гамільтонову функцію\(H(\mathbf{p}, \mathbf{q})\) матриць\(\mathbf{q}\),\(\mathbf{p}\) що призводить до канонічних рівнянь Гамільтона

\[\mathbf{\dot{q}}= \frac{\partial H }{\partial \mathbf{p}} \quad \mathbf{\dot{p}} =−\frac{\partial H }{\partial \mathbf{q}} \label{18.11}\]

Гейзенберг і Борн також показали, що комутатор\(\mathbf{q}, \mathbf{p}\) дорівнює

\[q_kp_l − p_lq_k = i\hbar \delta_{kl} \label{18.12} \\ q_kq_l − q_lq_k = 0 \\ p_kp_l − p_lp_k = 0 \]

Борн зрозумів, що Equation\ ref {18.12} є єдиним фундаментальним рівнянням для\(\hbar\) введення в теорію логічним і послідовним способом.

Глава\(15.2.4\) обговорювала формальну відповідність між дужкою Пуассона, визначеною в главі\(15.3\), і комутатором в класичній механіці. Показано, що комутатор двох функцій дорівнює постійному мультиплікативному фактору на\(\lambda\) відповідну дужку Пуассона. Тобто

\[(F_jG_k − G_kF_j ) = \lambda \{F_j , G_k\} \label{18.13}\]

де мультиплікативний коефіцієнт\(\lambda\) є числом\(F_j , G_k\), незалежним від, і комутатором.

У 1925 році Пол Дірак, 23-річний аспірант Брістоля, визнав вирішальне значення вищезазначеного відповідності між комутатором і Пуассоном кронштейном двох функцій, пов'язаних класичної механіки та квантової механіки. Дірак зазначив, що якщо константі\(\lambda\) присвоєно значення\(\lambda = i\hbar \), то Equation\ ref {18.13} безпосередньо пов'язує комутаційні відносини Гейзенберга між фундаментальними канонічними\((q_j , p_k)\) змінними з відповідною класичною дужкою Пуассона\(\{q_j , p_k\}\). Тобто,

\[q_kp_l − p_lq_k = i\hbar \{q_k, p_l\} = i\hbar \delta_{kl} \label{18.14}\]

\[q_kq_l − q_lq_k = i\hbar \{q_k, q_l\}=0 \label{18.15}\]

\[p_kp_l − p_lp_k = i\hbar \{p_k, p_l\}=0 \label{18.16}\]

Дірак визнав, що відповідність між класичною дужкою Пуассона та квантовим комутатором, заданий Equation\ ref {18.13}, забезпечує логічний та послідовний спосіб, який будує квантування безпосередньо в теорію, а не використання спеціальної, залежної від регістру гіпотези, як використовується старішим квантом теорія Бора. Основа принципу квантування Дірака передбачає заміну класичного кронштейна\(\{F_j , G_k\}\) Пуассона, комутатором,\(\frac{1}{ i\hbar } (F_j, G_k − G_kF_j )\). Тобто,

\[\{F_j , G_k\} \Longrightarrow \frac{1}{i\hbar} (F_jG_k − G_kF_j ) \label{18.17}\]

Канонічні рівняння Гамільтона, введені в розділі\(15\), застосовні лише до класичної механіки, оскільки вони припускають, що точне положення та сполучений імпульс можуть бути визначені як точно, так і одночасно, що суперечить принципу невизначеності Гейзенберга. На відміну від цього, узагальнення дужок Пуассона рівнянь Гамільтона дозволяє не комутувати змінні плюс відповідний принцип невизначеності. Тобто перетворення з класичної механіки в квантову механіку можна здійснити просто замінивши класичний Пуассон-брекет квантовим комутатором, як запропонував Дірак. Формальна аналогія між класичною гамільтоновою механікою та представленням Гейзенберга квантової механіки разюче очевидна, використовуючи відповідність між представленням Пуассон-брекета гамільтонової механіки та матричною механікою Гейзенберга.

Пряме відношення між квантовим комутатором та відповідним класичним дужкою Пуассона застосовується до багатьох спостережуваних. Наприклад, квантові аналоги рівнянь руху Гамільтона наведені за допомогою рівнянь руху Гамільтона\((15.2.42)\)\((15.2.45)\), і замінюючи кожен Пуассон-брекет відповідним комутатором. Тобто

\[\frac{dq_k}{ dt} = \frac{\partial H }{\partial p_k} = \{q_k, H\} = \frac{1}{i\hbar} (q_kH − Hq_k) \label{18.18}\]

\[\frac{dp_k }{dt} = −\frac{\partial H }{\partial q_k } = \{p_k, H\} = \frac{1}{i\hbar} (p_kH − Hp_k) \label{18.19}\]

Глава\(15.2.5\) обговорювала часову залежність спостережуваних в гамільтонівській механіці. Рівняння\((15.2.34)\) дало загальну похідну часу будь-якої\(G\) спостережуваної бути

\[\frac{dG}{dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + \{G, H\} \label{18.20}\]

Рівняння\ ref {18.17} може бути використано для заміни дужки Пуассона квантовим комутатором, що дає відповідну часову залежність спостережуваних в квантовій фізиці.

\[\frac{dG}{dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} (GH − HG) \label{18.21}\]

У квантовій механіці рівняння\ ref {18.21} називається рівнянням Гейзенберга. Зауважте, що якщо\(G\) спостережувана обрана фундаментальна канонічна змінна, то\(\frac{\partial q_k}{ \partial t} =0= \frac{\partial p_k}{ \partial t}\) і рівняння\((15.2.9)\) зводиться до рівнянь Гамільтона\ ref {18.18} і\ ref {18.19}.

Аналогії між класичною механікою та квантовою механікою поширюються далі. Наприклад, якщо\(G\) константа руху, тобто\(\frac{dG}{dt} = 0\), то рівняння руху Гейзенберга дає

\[\frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} (GH − HG)=0 \label{18.22}\]

Причому якщо не\(G\) є явною функцією часу, то

\[0 = \frac{1}{i\hbar} (GH − HG) \label{18.23}\]

Тобто перехід до квантової фізики показує, що, якщо\(G\) є константою руху, і явно не залежить від часу, то\(G\) комутується з гамільтоном\(H\).

Вищезазначене обговорення проілюструвало тісну і красиву відповідність між представленням Пуассона Bracket класичної гамільтонової механіки та представленням Гейзенберга квантової механіки. Дірак надав елегантний і простий принцип відповідності, що з'єднує подання дужки Пуассона класичної гамільтонової механіки, з представленням Гейзенберга квантової механіки.

Представлення хвильової механіки Шредінгера

Формулювання хвильової механіки квантової механіки австрійським теоретиком Шредінгером було побудовано на концепції подвійності хвиль і частинок, запропонованої в 1924 році Луї де Брольє. Шредінгер розробив своє представлення хвильової механіки квантової фізики через рік після розробки матричної механіки Гейзенбергом і Борном. Хвильове рівняння Шредінгера базується на нерелятивістському представленні хвильового рівняння Гамільтона-Якобі, злитого з операторним формалізмом Борна та Вінера. 39-річний Шредінгер був експертом з класичної механіки та теорії хвиль, що було неоціненним, коли він розробив важливе рівняння Шредінгера. Як згадувалося в розділі\(15.4.4\), теорія Гамільтона-Якобі - це формалізм класичної механіки, що дозволяє рух частинки зображати хвилею. Тобто хвильові фронти - це поверхні постійної дії\(S\), а моменти частинок є нормальними для цих поверхонь постійної дії, тобто\(\mathbf{p} = \boldsymbol{\nabla}S\). Двійність хвиль і частинки теорії Гамільтона-Якобі є природним способом обробки подвійності хвиль і частинок, запропонований де Броглі.

Розглянемо класичне рівняння Гамільтона-Якобі для одного тіла, задане\ ref {18.20}.

\[\frac{\partial S}{\partial t} + H(\mathbf{q},\boldsymbol{\nabla}S,t)=0 \label{18.24}\]

Якщо гамільтоніан незалежний від часу, то рівняння\((15.4.2)\) дає це

\[\frac{\partial S}{\partial t} = −H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = −E (\boldsymbol{\alpha}) \label{18.25}\]

Інтеграція часової залежності тривіальна, і, таким чином, інтеграл дії для незалежного від часу гамільтоніана є

\[S(\mathbf{q}, \boldsymbol{\alpha},t) = W (\mathbf{q}, \boldsymbol{\alpha}) − E (\boldsymbol{\alpha})t \label{18.26}\]

Формальна трансформація дає

\[E = −\frac{\partial S}{\partial t} \qquad \mathbf{p} = \boldsymbol{\nabla}S \label{18.27}\]

Розглянемо, що класичний незалежний від часу гамільтоніан для руху однієї частинки представлений рівнянням Гамільтона-Якобі.

\[H = \frac{\mathbf{p}^2}{ 2\mu } + U(q) = −\frac{\partial S}{\partial t} \label{18.28}\]

Замінник\(\mathbf{p}\) призводить до класичного відношення Гамільтона-Якобі з точки зору дії\(S\)

\[\frac{1}{ 2\mu } (\boldsymbol{\nabla}S \cdot \boldsymbol{\nabla}S) + U(q) = −\frac{\partial S}{\partial t} \label{18.29}\]

За аналогією з рівнянням Гамільтона-Якобі Шредінгер запропонував квантово-операторне рівняння

\[i\hbar \frac{ \partial \psi}{ \partial t} = \hat{H}\psi \label{18.30}\]

де\(\hat{H}\) - оператор, заданий

\[\hat{H} = − \frac{\hbar^2 }{2\mu} \nabla^2 + U(r) \label{18.31}\]

У 1926 році Макс Борн і Норберт Вінер ввели операторний формалізм в матричну механіку для прогнозування спостережуваних, і це стало невід'ємною частиною квантової теорії. У операторному формалізмі спостережувані представлені операторами, які проектують відповідну спостережувану з хвильової функції. Тобто квантовий операторний формалізм для операторів передбачуваного імпульсу та енергії, які працюють на хвильовій функції\(\psi \), є

\[p_j = \frac{\hbar}{ i} \frac{\partial}{ \partial q_j} \quad E = −\frac{\hbar}{ i} \frac{\partial}{ \partial t} \label{18.32}\]

Формальні перетворення\(\mathbf{p}\) та\(E\) в гамільтоніані\ ref {18.26} призводять до незалежного від часу рівняння Шредінгера

\[− \frac{\hbar^2}{ 2\mu} \frac{ \partial^2\psi}{ \partial q^2} + U(q)\psi = E\psi \label{18.33}\]

Припустимо, що хвильова функція має вигляд

\[\psi = Ae^{\frac{ iS}{ \hbar}} \label{18.34}\]

де дія\(S\) дає фазу хвильового фронту, і\(A\) амплітуду хвилі, як описано в розділі\(15.4.4\). Часова залежність, що характеризує рух хвильового фронту, міститься в залежності від часу\(S\). Ця форма для хвильової функції має ту перевагу, що хвильова функція часто перетворюється на добуток термінів, наприклад,\(\psi = R(r)\Theta (\theta ) \Phi (\phi )\) що відповідає підсумовуванню показників\(S = W_r + W_{\theta} + W_{\phi} − Et\). Ця форма підсумовування використовується шляхом поділу змінних, про що йдеться в розділі\(15.4.3\).

Вставити\(\psi\) визначене\ ref {18.34} в Equation\ ref {18.33}, плюс використовуючи той факт, що

\[\frac{\partial^2\psi}{ \partial q^2} = \frac{\partial}{ \partial q} \left( \frac{\partial \psi}{ \partial S} \frac{\partial S}{ \partial q} \right) = \frac{\partial}{ \partial q} \left( \frac{i}{ \hbar} \psi \frac{ \partial S }{\partial q} \right) = − \frac{1}{ \hbar^2} \psi \left( \frac{\partial S}{ \partial q } \right)^2 + \frac{i}{ \hbar} \psi \frac{ \partial^2S}{ \partial q^2} \label{18.35}\]

призводить до

\[−\frac{\partial S}{\partial t} = \frac{1}{ 2\mu} (\boldsymbol{\nabla}S \cdot \boldsymbol{\nabla}S) + U(q) − \frac{i\hbar}{ 2\mu} \nabla^2S = E \label{18.36}\]

Зауважте, що якщо константа Планка\(\hbar = 0\), то уявний член у Equation\ ref {18.36} дорівнює нулю, що призводить до того, що\ ref {18.36} є дійсним і ідентичним результату Гамільтона-Якобі, Equation\ ref {18.29}. Той факт, що рівняння\ ref {18.35} дорівнює рівнянню Гамільтона-Якобі в межі\(\hbar \rightarrow 0\), ілюструє тісну аналогію між подвійністю хвильових частинок класичної теорії Гамільтона-Якобі та подвійністю хвиль частинок де Бройля в квантовій хвильовій механіці.

Підхід Шредінгера був прийнятий у 1925 році і широко експлуатувався з величезним успіхом, оскільки його набагато легше зрозуміти концептуально, ніж алгебраїчний підхід Гейзенберга. Спочатку існував великий конфлікт між прихильниками цих двох суперечливих підходів, але це було вирішено Шредінгером, який показав у 1926 році, що існує формальна математична ідентичність між хвильовою механікою та матричною механікою. Тобто ці два квантові зображення гамільтонової механіки еквівалентні, хоча вони побудовані або на поданні дужки Пуассона, або на поданні Гамільтона-Якобі. Хвильова механіка заснована на правилі квантування змінної дії. Принцип невизначеності Гейзенберга автоматично задовольняється хвильовою механікою Шредінгера, оскільки принцип невизначеності є особливістю всіх хвильових рухів, як описано в розділі\(3\).

У 1928 році Дірак розробив релятивістське хвильове рівняння, яке включає спін як невід'ємну частину. Це рівняння Дірака залишається фундаментальним хвильовим рівнянням квантової механіки. На жаль, це важко застосувати.

Сьогодні потужне та ефективне уявлення Гейзенберга є домінуючим підходом, що використовується в галузі фізики, тоді як хіміки, як правило, віддають перевагу більш інтуїтивному підходу до хвильової механіки Шредінгера. У будь-якому випадку важлива роль гамільтонової механіки в квантовій теорії незаперечна.