18.2: Короткий зміст витоків квантової теорії

Останнє десятиліття\(19^{th}\) століття побачило кульмінацію класичної фізики. До 1900 вчені думали, що основні закони механіки, електромагнетизму та статистичної механіки були зрозумілі і стурбовані тим, що майбутня фізика буде зведена до підтвердження теорій до п'ятого знака після коми, з невеликою кількістю великих нових відкриттів. Однак технічні розробки, такі як фотографія, вакуумні насоси, індукційна котушка тощо, привели до важливих відкриттів, які зробили революцію в фізиці і скинули класичну механіку зі свого трону на початку\(20^{th}\) століття. Таблиця\(\PageIndex{1}\) узагальнює деякі основні віхи, що ведуть до розвитку квантової механіки.

Макс Планк шукав пояснення спектральної форми електромагнітного випромінювання чорного тіла. Він знайшов інтерполяцію між двома суперечливими теоріями, одна з яких відтворювала поведінку короткої довжини хвилі, а інша - довгою довжиною хвилі. Інтерполяція Планка вимагала припущення, що електромагнітне випромінювання не випромінювалося з безперервним діапазоном енергій, а що електромагнітне випромінювання випромінюється в дискретних пучках енергії, званих квантами. У грудні 1900 року він представив свою теорію, яка точно відтворювала виміряний спектральний розподіл чорного тіла, припускаючи, що енергія, що переноситься одним квантом, повинна бути цілим числом кратним\(h\nu \):

\[E = h\nu = \frac{hc}{ \lambda} \label{18.1}\]

\(\nu\)де частота електромагнітного випромінювання і постійна Планка,\(h = 6.62610^{−34}\)\(J \cdot s\) був найкращим параметром інтерполяції. Тобто Планк припускав, що енергія надходить в дискретні пучки енергії, рівні\(h\nu\) яких називаються квантами. Зробивши це крайнє припущення, в акті відчаю Планк зміг відтворити експериментальний спектр випромінювання чорного тіла. Припущення про те, що енергія обмінюється зв'язками, натякало на те, що класичні закони фізики неадекватні в мікроскопічній області. Фізики старшого покоління спочатку відмовилися вірити гіпотезі Планка, яка лежить в основі квантової теорії. Саме фізики нового покоління, такі як Ейнштейн, Бор, Гейзенберг, Борн, Шредінгер і Дірак, розробили гіпотезу Планка, що веде до революційної квантової теорії.

У 1905 році Ейнштейн передбачив існування фотона, вивів теорію питомої теплоти, а також вивів Теорію особливої відносності. Примітно усвідомлювати, що ці три революційні теорії він розробив за один рік, коли йому було всього 26 років. Ейнштейн виявив невідповідність у виведенні Планка спектрального розподілу чорного тіла в тому, що він припускав, що статистична частина енергії квантована, тоді як електромагнітне випромінювання припускало рівняння Максвелла з енергіями осцилятора безперервними. Планк вимагав, щоб світло\(\nu\) частоти було упаковано в кванти, енергії яких кратні\(h\nu \), але Планк ніколи не думав, що світло матиме поведінку, подібну до частинок. Ньютон вважав, що світло задіяні тільця, і Гамільтон розробив теорію Гамільтона-Якобі, прагнучи описати світло з точки зору теорії тілець. Однак Максвелл переконав фізиків, що світло - це хвильові явища; інтерференція плюс дифракційні ефекти є переконливими проявами хвилеподібних властивостей світла. Щоб відтворити передбачення Планка, Ейнштейну довелося ставитися до випромінювання чорного тіла так, ніби воно складається з газу фотонів, кожен фотон має енергію\(E = h\nu \). Це була революційна концепція, яка повернулася до теорії тільця Ньютона про світло. Ейнштейн зрозумів, що існують прямі випробування його фотонної гіпотези, однією з яких є фотоелектричний ефект. За словами Ейнштейна, кожен фотон має енергію\(E = h\nu \), на відміну від класичного випадку, коли енергія фотоелектрона залежить від інтенсивності світла. Ейнштейн передбачив, що викинутий електрон матиме кінетичну енергію

\[KE = h\nu − W \label{18.2}\]

де\(W\) робоча функція, яка є енергією, необхідною для видалення електрона з твердого тіла.

Багато старших вчених, включаючи Планка, прийняли теорію відносності Ейнштейна, але скептично ставилися до концепції фотонів, навіть після того, як концепція фотонів Ейнштейна була виправдана в 1915 Мілліканом, який показав, що, як передбачалося, енергія викинутого фотоелектрона залежить від частоти, а не інтенсивності, світла. У 1923 році Комптон продемонстрував, що електромагнітне випромінювання, розсіяне вільними електронами, підпорядковувалося простим законам розсіювання двох тіл, що остаточно переконало багатьох скептиків у існуванні фотона.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Хронологія розвитку квантової механіки

Дата	Автор	Розробка
1887	Герц	Виявлено фотоелектричний ефект
1895	Рентген	виявлені рентгенівські промені
1896	Беккерель	Виявлена радіоактивність
1897	Джей-Джей Томсон	Виявлено першу фундаментальну частинку, електрон
1898	П'єр і Марі Кюрі	Показано, що торій радіоактивний, який заснував ядерну фізику
1900	Планк	Квантування\(E = h\nu\) пояснювало спектр чорного тіла
1905	Ейнштейн	Теорія спеціальної відносності
1905	Ейнштейн	Передбачений існування фотона
1906	Ейнштейн	Використовується константа Планка для пояснення питомої теплоти твердих тіл
1909	Міллікан	Експеримент по падінню масла виміряв заряд на електроні
1911	Резерфорд	Виявлено атомне ядро з радіусом\(10^{−15}\)\(m\)
1912	Бор	Борська модель атома пояснила квантовані стани водню
1914	Мозлі	Рентгенівські спектри визначали атомний номер елементів.
1915	Міллікан	Використовував фотоелектричний ефект для підтвердження фотонної гіпотези.
1915	Вілсон-Зоммерфельд	Запропоноване квантування інтеграла дія-кут
1921	Штерн-Герлах	Спостережуване квантування простору в неоднорідному магнітному полі
1923	Комптон	Комптонське розсіювання рентгенівських променів підтвердило фотонну гіпотезу
1924	де Брольє	Постульована подвійність хвильових частинок для хвиль речовини та ЕМ-хвиль
1924	Бор	Явна заява принципу відповідності
1925	Паулі	Постулював принцип виключення
1925	Гудсміт-Уленбек	Постулював спін електрона\(s = \frac{1}{2} \hbar\)
1925	Гейзенберг	Матрична механіка представлення квантової теорії
1925	Дірак	Пов'язані дужки Пуассона та комутаційні відносини
1926	Шредінгер	хвильова механіка
1927	Г.П. Томсон/Девіссон	Дифракція електронів доведена хвильова природа електрона
1928	Дірак	Розроблено релятивістське хвильове рівняння Дірака

Борська модель атома

Експеримент з розсіювання Резерфорда, проведений в Манчестері в 1911 році, виявив, що атом Au складається з позитивно зарядного ядра радіуса,\(\approx 10^{−14}\)\(m\) який набагато менше, ніж\(1.35 \times 10^{−10}\)\(m\) радіус атома Au. Стимульований цим відкриттям, Нільс Бор приєднався до Резерфорда в Манчестері в 1912 році, де він розробив модель Бора атома. Ця теорія була надзвичайно успішною, незважаючи на серйозні невідповідності та недоліки. Припущення моделі Бора були:

1. Електромагнітне випромінювання квантується с\(E = h\nu \).
2. Електромагнітне випромінювання проявляє поведінку, характерну для випромінювання фотонів енергією\(E = h\nu\) та імпульсом\(p = \frac{h\nu}{c}\). Тобто він проявляє як хвилеподібну, так і частинкоподібну поведінку.
3. Електрони знаходяться на стаціонарних орбітах, які не випромінюють, що суперечить прогнозам класичного електромагнетизму.
4. Орбіти квантуються таким чином, що кутовий імпульс електрона є цілим числом кратним\(\frac{h}{ 2\pi} = \hbar \).
5. Атомне електромагнітне випромінювання випромінюється з енергією фотонів, рівною різниці енергії зв'язку між двома задіяними атомними рівнями. \(h\nu = E_1 − E_2\)

Перші два припущення обумовлені Планком і Ейнштейном, тоді як останні три були зроблені Нільсом Бором.

Недоліками моделі Бора стали філософські проблеми порушення догматів класичної фізики в поясненні воднеподібних атомів, тобто теорія була нормативною, а не дедуктивною. Модель Бора була заснована неявно на припущенні, що квантова теорія містить класичну механіку як обмежувальний випадок. Бор прямо висловив це припущення, яке він назвав принципом відповідності, і яке зіграло ключову роль у розвитку давньої квантової теорії. У 1924 році Бор обґрунтував невідповідності старої квантової теорії, написавши: «Як часто підкреслюється, ці принципи, хоча і сформульовані за допомогою класичних концепцій, повинні розглядатися суто як закони квантової теорії, які дають нам, не витримуючи формального характеру квантової теорії, надія на майбутнє послідовної теорії, яка одночасно відтворює характерні риси квантової теорії, важливі для її застосовності, і, тим не менш, може розглядатися як раціональне узагальнення класичної електродинаміки».

Стара квантова теорія була надзвичайно успішною у відтворенні спектра чорного тіла, питомої теплоти твердих тіл, атома водню та періодичної таблиці елементів. На жаль, з методологічної точки зору теорія була мішаниною гіпотез, принципів, теорем і обчислювальних рецептів, а не логічної послідовної теорії. Кожна проблема спочатку вирішувалася з точки зору класичної механіки, а потім пройшла таємничу процедуру квантування за участю принципу відповідності. Хоча побудована на основі класичної механіки, вона вимагала гіпотез Бора, які порушували закони класичної механіки та прогнози рівнянь Максвелла.

Квантування

До 1912 року Планк та інші відмовилися від концепції, що квантова теорія є галуззю класичної механіки, і шукали, чи класична механіка є особливим випадком більш загальної квантової фізики, або квантова фізика взагалі є наукою поза класичною механікою. Також вони намагалися знайти послідовну та раціональну причину квантування, щоб замінити спеціальне припущення Бора.

У 1912 році Зоммерфельд запропонував, що в кожному елементарному процесі атом отримує або втрачає певну кількість дії між часом\(t_0\) і\(t\)

\[S = \int^t_{t_0} L(t^{\prime} )dt^{\prime} \label{18.3}\]

де\(S\) - квантовий аналог класичної функції дії. Показано, що класичний принцип найменшої дії стверджує, що функція дії є нерухомою для малих варіацій траєкторії. У 1915 році Вілсон і Зоммерфельд визнали, що квантування моменту моменту може бути виражено через інтеграл дії-кут, тобто рівняння\((15.5.1)\). Вони постулювали, що для кожної координати змінна кута дії квантується

\[\oint p_k dq_k = nh \label{18.4}\]

де змінний інтеграл кута дії протягом одного повного періоду руху. Тобто вони постулювали, що фазовий простір Гамільтона квантовано, але мікроскопічна зернистість така, що квантування проявляється лише для атомних доменів. Тобто,\(n\) є малим цілим числом для атомних систем на відміну від\(n \approx 10^{64}\) для системи двох тіл Земля-Сонце.

Зоммерфельд визнав, що квантування більш ніж одного ступеня свободи необхідно для отримання більш точного опису атома водню. Зоммерфельд відтворив експериментальні дані, припускаючи квантування трьох ступенів свободи,

\[\oint p_r dr = n_1h \quad \oint p_{\theta} d\theta = n_2h \quad \oint p_{\phi} d\phi = n_3h \label{18.5}\]

та розв'язання теорії Гамільтона-Якобі шляхом поділу змінних. У 1916 році модель Бора-Зоммерфельда вирішила класичні орбіти атома водню, включаючи релятивістські виправлення, описані в прикладі\(17.7.1\). Це відтворюється тонка структура, що спостерігається в оптичних спектрах водню. Використання канонічного перетворення в змінні action-кут виявилося ідеальним підходом для вирішення багатьох таких задач у квантовій механіці. У 1921 році Штерн і Герлах продемонстрували квантування простору, спостерігаючи за розщепленням атомних променів, відхилених неоднорідними магнітними полями. Цей результат став великим тріумфом для квантової теорії. Зоммерфельд заявив, що «своїм сміливим експериментальним методом Стерн і Герлах продемонстрували не тільки існування космічного квантування, вони також довели атомну природу магнітного моменту, його квантово-теоретичне походження та його відношення до атомної структури електрики».

У 1925 році Принцип виключення Паулі запропонував, що не більше одного електрона можуть мати однакові квантові числа і що атомно-електронний стан задається чотирма квантовими числами. Двоє студентів, Гудсміт і Уленбек припустили, що четверте двозначне квантове число - це електронний спін\(\pm \frac{\hbar}{2}\). Це дало правдоподібне пояснення будови багатоелектронних атомів.

Двійність хвильових частинок

У своїй докторській дисертації 1924 року принц Луї де Брольє запропонував гіпотезу подвійності хвиль і частинок, яка була ключовим розвитком квантової теорії. де Брольє використовував класичну концепцію хвильового пакету матерії, аналогічну класичним хвильовим пакетам, розглянутим у розділі\(3.11\). Він припустив, що і групова, і швидкість сигналу пакета хвиль речовини повинні дорівнювати швидкості відповідної частинки. За аналогією зі ставленням Ейнштейна до фотона, і використовуючи теорію спеціальної відносності, де Бройлі припустив, що

\[\hbar \omega = E = \frac{mc^2}{\sqrt{\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}} \label{18.6}\]

Групова швидкість потрібна, щоб дорівнювати швидкості маси

\[v_{group} = \left(\frac{d\omega}{ dk} \right) = \left(\frac{d\omega}{ dv } \right) \left(\frac{dv }{dk} \right) = v \label{18.7}\]

Це дає

\[\frac{dk }{dv} = \frac{1}{ v} \left(\frac{d\omega}{ dv} \right) = \left( \frac{m}{\hbar} \right) \left( 1 − \frac{v^2}{ c^2} \right)^{− \frac{3}{ 2}} \label{18.8}\]

Інтеграція цього рівняння припускаючи, що\(k = 0\) коли\(v = 0\), то дає

\[\hbar \mathbf{k} = \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{\left(1-\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}{c^2}\right)}} = \mathbf{p} \label{18.9}\]

Це співвідношення, отримане де Брольє, потрібно для того, щоб частинка рухалася з груповою швидкістю хвильового пакета, що характеризує частинку. Зауважимо, що хоча відносини, що використовуються для характеристики хвиль матерії, є чисто класичними, фізичний зміст таких хвиль виходить за рамки класичної фізики. У 1927 р. Девіссон і Г.П.Томсон самостійно спостерігали дифракцію електронів, що підтверджує подвійність хвилі/частинки для електрона. За іронією долі, Джей Джей Томсон виявив, що електрон є частинкою, тоді як його син приписував її електронній хвилі.

Гейзенберг розробив сучасну матричну формулювання квантової теорії в 1925 році; на той момент йому було 24 роки. Через кілька місяців Шредінгер розробив хвильову механіку, засновану на концепції де Брольє подвійності хвиль і частинки. Матрична механіка, і хвильова механіка, квантові теорії кардинально відрізняються. Алгебраїчний підхід Гейзенберга використовує некомутуючі величини та незнайомі математичні методи, які підкреслювали дискретність, характерну для корпускульного аспекту. На відміну від цього, Шредінгер використовував знайомий аналітичний підхід, який є продовженням класичних законів руху та хвиль, що підкреслювало елемент безперервності.