16.9: Підсумок та наслідки

Мета цієї глави полягає в тому, щоб побачити класичну механіку континуа, яка вводить формулювання щільності Лагранжа та гамільтонової щільності класичної механіки.

Формулювання щільності лагранжа

У тривимірній щільності Лагранжа\(\mathfrak{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ dt} ,\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}, x, y, z, t)\) пов'язана з Лагранжа\(L\) шляхом прийняття об'ємного інтеграла щільності Лагранжа.

\[L = \int \mathfrak{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q} }{dt }, \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}, x, y, z, t)d\tau \label{16.21}\]

Застосування принципу Гамільтона до тривимірної густини Лагранжа призводить до наступного набору диференціальних рівнянь руху

\[\frac{\partial}{\partial t }\left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial t}} \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial x}} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial y}} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial z}} \right) − \frac{\partial \mathfrak{L}} {\partial \mathbf{q}} = 0 \label{16.22}\]

Формулювання густини гамільтона

У межі, що координати\(q,p\) є неперервними, то гамільтонова щільність може бути виражена через об'ємний інтеграл над щільністю імпульсу\(\pi\) і щільністю Лагранжа,\(\mathfrak{L}\) де

\[\boldsymbol{\pi} \equiv \frac{\partial \mathfrak{L}}{ \partial \mathbf{\dot{q}}} \label{16.27}\]

Тоді очевидним визначенням густини гамільтона\(\mathfrak{H}\) є

\[H = \int \mathfrak{H} dV = \int (\boldsymbol{\pi} \cdot \mathbf{\dot{q}} - \mathfrak{L}) d\tau \label{16.28}\]

де густина гамільтона задається

\[\mathfrak{H} =\boldsymbol{\pi} \cdot \mathbf{\dot{q}} − \mathfrak{L} \label{16.29}\]

Ці формулювання щільності Лагранжа та Гамільтона мають значне значення для теорії поля та механіки рідини.

Лінійні пружні тверді тіла

Теорія неперервних систем була застосована до випадку лінійних пружних твердих тіл. Тензор напружень\(\mathbf{T}\) - це тензор 2 рангу, який визначається як відношення вектора сили\(d\mathbf{F}\) та вектора поверхневого елемента\(d\mathbf{A}\). Тобто вектор сили задається внутрішнім добутком тензора напружень\(\mathbf{T}\) і вектором поверхневого елемента\(d\mathbf{A}\).

\[d\mathbf{F} = \mathbf{T}\cdot d\mathbf{A} \label{16.33}\]

Тензор деформації\(\boldsymbol{\sigma}\) також є тензором 2-го рангу, який визначається як відношення вектора деформації\(\boldsymbol{\xi}\) та нескінченно малої площі\(d\mathbf{A}\).

\[d\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{\sigma}\cdot d\mathbf{A} \label{16.38}\]

де складовою формою тензора штаму 2 рангу є

\[\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{ 2 } \begin{vmatrix} \frac{d\xi_1 }{dx_1} & \frac{d\xi_1}{ dx_2} & \frac{d\xi_1 }{dx_3} \\ \frac{d\xi_2}{ dx_1} & \frac{d\xi_2 }{dx_2} & \frac{d\xi_2 }{dx_3} \\ \frac{d\xi_3}{ dx_1} & \frac{d\xi_3}{ dx_2 } & \frac{d\xi_3}{ dx_3} \end{vmatrix} \label{16.39}\]

Модуль пружності визначається як нахил кривої напруження-деформація. Для лінійної, однорідної, пружної речовини щільність потенційної енергії\(U\) розділяється на діагональну та позадіагональну складові тензора деформації

\[U = \frac{1}{2} \left[ \lambda \sum_i (\sigma_{ii})^2 + 2\mu \sum_{ik} (\sigma_{ik})^2 \right] \label{16.42}\]

де константи\(\lambda\) і\(\mu\) є модулями пружності Ламе, які є позитивними. Тензор напруги пов'язаний з тензором деформації

\[T_{ij} = \lambda \delta_{ij} \sum_k \frac{\partial\xi_k }{\partial x_k} + \mu \left( \frac{d\xi_i}{ dx_j } + \frac{d\xi_j}{ dx_i} \right) = \lambda \delta_{ij} \sum_k \sigma_{kk} + 2\mu \sigma_{ij} \label{16.43}\]

Теорія електромагнітного поля

Тензор напруги Максвелла 2 рангу\(\mathbf{T}\) має компоненти

\[T_{ij} \equiv \epsilon_0 \left( E_iE_j − \frac{1}{2} \delta_{ij}E^2 \right) + \frac{1 }{\mu_0} \left( B_iB_j − \frac{1}{2} \delta_{ij}B^2 \right) \label{16.71}\]

Теорема розбіжності дозволяє записати загальну електромагнітну силу\(\tau\), що діє на об'єм, як

\[\mathbf{F}= \int \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} −\epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf{S} }{\partial t} \right) d \tau = \oint \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a}−\epsilon_0\mu_0 \frac{d}{dt} \int \mathbf{Sd}\boldsymbol{\tau} \label{16.74}\]

Сумарна щільність потоку імпульсу задається

\[\frac{\partial}{ \partial t} (\boldsymbol{\pi}_{mech} + \boldsymbol{\pi}_{field}) = \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} \label{16.79}\]

де щільність імпульсу електромагнітного поля задається вектором Пойнтінга\(\mathbf{S}\) як\(\boldsymbol{\pi}_{field}=\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{S}\).

Ідеальна динаміка рідини

Збереження маси призводить до рівняння безперервності

\[\frac{\partial \rho }{ \partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot (\rho \mathbf{v})=0 \label{16.82}\]

Гідродинамічне рівняння Ейлера дає

\[\frac{\partial \mathbf{v} }{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v} = −\frac{1}{ \rho} \boldsymbol{\nabla} (P + \rho V ) \label{16.90}\]

де\(V\) - скалярний гравітаційний потенціал. Якщо потік ірротаційний і незалежний від часу, то

\[\left(\frac{1}{ 2} \rho v^2 + P + \rho V \right) = \text{ constant} \label{16.94}\]

Динаміка в'язкої рідини

Для нестисливого потоку термін тензора напружень спрощує\(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} =\mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}\). Тоді рівняння Нав'є-Стокса стає

\[\rho \left[ \frac{\partial \mathbf{v} }{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} \right] = −\boldsymbol{\nabla}P + \mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}+ \mathbf{f} \label{16.98}\]

де\(\mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}\) - термін опору в'язкості. Ліва частина Equation\ ref {16.98} представляє швидкість зміни імпульсу на одиницю об'єму, а права - підсумовування сил на одиницю об'єму, що діють.

Число Рейнольдса - це безрозмірне число, яке характеризує відношення сил інерції до в'язких сил у в'язкому середовищі. Обговорено еволюцію течії від ламінарного потоку до турбулентного потоку зі збільшенням числа Рейнольдса.

Класична механіка безперервних полів охоплює надзвичайно широкий спектр явищ з важливими додатками для ламінарного та турбулентного потоку рідини, гравітації, електромагнетизму, відносності та квантових полів.