16.8: Динаміка в'язкої рідини
- Page ID
- 75966
Динаміка в'язкої рідини - це галузь класичної механіки, яка відіграє ключову роль у широкому спектрі аспектів життя, таких як кровотік в анатомії людини, погода, гідротехніка та транспортування по суші, морю та повітрю. Потік в'язкої рідини забезпечує характер найбільш поширених проявів нелінійності та турбулентності в класичній механіці, а також забезпечує чудову ілюстрацію можливих розв'язків нелінійних рівнянь руху, представлених у розділі\(4\). Детальний опис турбулентності залишається складною проблемою, і ця тема має репутацію останньої великої невирішеної проблеми в класичній механіці. Існує апокрифічна історія про те, що Вернера Гейзенберга запитали, якщо йому надали можливість, про що б він хотів попросити Бога. Його відповідь була: «Коли я зустрінуся з Богом, я збираюся поставити йому два питання: Чому відносність? і чому турбулентність? , Я дійсно вірю, що він матиме відповідь лише на перше».
На відміну від твердих речовин, рідини не мають пружних відновлювальних сил для підтримки напруги зсуву, оскільки рідина тече. Напруження зсуву в рідинях балансують в'язкими силами, які залежать від швидкості. Існують два механізми, які призводять до напруги зсуву, що діють між сусідніми шарами рідини у відносному русі. Перший механізм включає ламінарний потік, де в'язкі сили створюють напругу зсуву між сусідніми шарами рідини, які рухаються паралельно уздовж сусідніх обтіків з різними швидкостями. В'язкі сили зазвичай домінують в ламінарному потоці. Рідини з високою в'язкістю, такі як мед, виявляють ламінарний потік і їх важче перемішувати або заливати порівняно з рідинами з низькою в'язкістю, такими як вода. Другий механізм включає турбулентний потік, де напруга зсуву обумовлена передачею імпульсу між сусідніми шарами, коли потік розпадається на великомасштабні когерентні вихрові структури, які несуть більшу частину кінетичної енергії. Ці вихрові призводять до поперечного руху, який передає імпульс плюс тепло між сусідніми шарами і призводить до більш високого опору. Вихровий наконечник крила, вироблений кінчиком крила літака, є прикладом динамічно чіткої, великомасштабної когерентної вихрової структури, яка має значний кутовий імпульс і розпадається шляхом фрагментації на каскад менших масштабів структур.
Рівняння Нав'є-Стокса
В'язкі сили, що діють на дрібномасштабні когерентні структури, з часом розсіюють енергію в турбулентному русі. В'язкий опір може оброблятися з точки зору тензора напружень,\(\mathbf{T}\) аналогічного його використанню при обліку пружних відновлювальних сил пружності в пружності, як розглянуто в розділі\(16.5.3\). Тобто щільність в'язкої сили пов'язана з уповільненням об'ємного елемента на
\[\frac{\partial}{ \partial t} (\rho \mathbf{v}) = −\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} \label{16.95}\]
де складовими тензора напруги є
\[T_{ki} = T_{ik} = P \delta_{ik} + \rho v_i v_k \label{16.96}\]
Зверніть увагу, що тензор напружень дає тензор щільності потоку імпульсу, який включає діагональний термін\(P\), пропорційний тиску, плюс в'язкий термін опору, який пропорційний добутку двох швидкостей.
Рівняння Нав'є-Стокса є фундаментальними рівняннями, що характеризують потік рідини. Вони засновані на застосуванні другого закону руху Ньютона до рідин разом з припущенням, що напруга рідини є сумою дифузного в'язкого члена плюс термін тиску. Поєднання рівняння Ейлера\((16.7.11)\), з\ ref {16.95} дає рівняння Нав'є-Стокса
\[\rho \left[ \frac{\partial \mathbf{v}}{ \partial t} + \mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} \right] = −\boldsymbol{\nabla}P + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{ }T+\mathbf{f} \label{16.97}\]
де\(\rho\) - щільність рідини,\(\mathbf{v}\) - вектор швидкості потоку, тиск,\(P\)\(\mathbf{T}\) тензор напруги зсуву в'язкий термін опору і\(\mathbf{f}\) представляє зовнішні сили тіла на одиницю об'єму, такі як сила тяжіння, що діє на рідину. Для нестисливого потоку термін тензора напружень спрощує\(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} =\mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}\). Тоді рівняння Нав'є-Стокса спрощує
\[\rho \left[ \frac{\partial \mathbf{v}}{ \partial t} + \mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} \right] = −\boldsymbol{\nabla}P + \mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}+\mathbf{f} \label{16.98}\]
де\(\mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}\) - термін опору в'язкості. Ліва частина Equation\ ref {16.98} представляє швидкість зміни імпульсу на одиницю об'єму, а права - підсумовування сил на одиницю об'єму, що діють.
Рівняння Нав'є-Стокса нелінійні через\((\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v}\) термін, а також є функцією швидкості. Ця нелінійність призводить до широкого спектру динамічної поведінки, починаючи від упорядкованого ламінарного потоку до хаотичної турбулентності. Чисельне розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса є надзвичайно складним через широкий динамічний діапазон розмірів когерентних структур, що беруть участь у турбулентному русі. Наприклад, обчислення моделювання вимагають використання сітки високої роздільної здатності, що є викликом для можливостей комп'ютерів поточного покоління.
Мікроскопічна гранична умова на межі розділу твердого тіла і рідини полягає в тому, що молекули рідини мають нульову середню тангенціальну швидкість відносно нормалі до розділу тверда рідина. Це означає, що існує прикордонний шар, для якого існує градієнт в тангенціальній швидкості рідини між поверхнею розділу тверда рідина і швидкістю вільного пара. Цей градієнт швидкості виробляє завихреність у рідині. Коли в'язкі сили незначні, тоді кутовий імпульс у будь-якій когерентній вихровій структурі зберігається, що призводить до того, що рух вихору зберігається під час його поширення.
Число Рейнольдса
Потік рідини можна охарактеризувати числом Рейнольдса Re, яке є безрозмірним числом, яке є мірою відношення сил інерції\(\rho v^2/L\) до в'язких сил\(\mu v/L^2\). Тобто,
\[\text{Re} \equiv \frac{\text{Inertial forces}}{\text{Viscous forces}} = \frac{\rho vL}{ \mu} = \frac{vL}{ \eta} \label{16.99}\]
де\(v\) відносна швидкість між вільним потоком рідини і твердою поверхнею,\(L\) є характерним лінійним розміром,\(\mu\) є динамічною в'язкістю рідини,\(\eta\) кінематичною в'язкістю\((\eta = \frac{\mu }{\rho} )\) і\(\rho\) щільністю рідини. Закон подібності передбачає, що при заданому числі Рейнольдса для твердого тіла певної форми потік рідини поводиться однаково незалежно від розміру тіла. Таким чином, можна використовувати невеликі моделі в аеродинамічних трубах або резервуарах з водяним потоком, щоб точно моделювати потік рідини, який може бути масштабований до повнорозмірного літака або човнів шляхом масштабування\(v\) та\(L\) отримання того ж числа Рейнольдса.
Ламінарний і турбулентний потік рідини
Витрата рідини по циліндру ілюструє загальні особливості потоку рідини. Сила опору, що\(F_D\) діє на циліндр діаметра\(D\) і довжини\(l\), з циліндричною віссю, перпендикулярною потоку рідини, задається
\[F_D = \frac{1}{ 2} \rho v^2C_D Dl \label{16.100}\]
де\(C_D\) - коефіцієнт опору. \(\PageIndex{1 upper}\)На малюнку показана залежність коефіцієнта опору\(C_D\) як функції числа Рейнольдса, для потоку рідини, що є поперечним до гладкого кругового циліндра. У нижній частині малюнка\(\PageIndex{1}\) показані обтічні лінії для обтікання циліндра при різних числах Рейнольдса для точок, ідентифікованих буквами\(A\)\(B\),\(C\),\(D\),, і\(E\) на графіку коефіцієнта опору проти числа Рейнольдса для гладкого циліндра.
А) При малих швидкостях, де Re\(\leq 1\), потік ламінарний навколо циліндра в тому, що низька завихреність гасне в'язкими силами і\(\frac{\partial \mathbf{v}}{ \partial t}\) термін в рівнянні\ ref {16.98} можна ігнорувати. Коефіцієнт опору\(C_D\) змінюється обернено залежно від Re, що призводить до сил опору, які приблизно лінійні зі швидкістю, як описано в розділі\(2.10.5\). Розміри і швидкості крапель дощу в легкому дощовому дощі відповідають таким числам Рейнольдса.
Б)\(10 < \text{Re} < 30\) Бо потік має два турбулентних вихору відразу за тілом після циліндра, але потік все ще в першу чергу ламінарний, як показано.
В) Для пари\(40 < \text{Re} < 250\) вихорів відшаровуються по черзі виробляють регулярну періодичну послідовність вихорів, хоча потік все ще ламінарний. Цей вихровий лист називається вихровим листом фон Кармана, для якого швидкість в заданому положенні відносно циліндра залежить від часу на відміну від ситуації при нижчих числах Рейнольдса.
Г) Для\(10^3 < \text{Re} < 10^5\) в'язких сил незначні щодо інерційних впливів вихорів, а вихори граничного шару мають менше часу для дифузії в більшу область рідини, при цьому прикордонний шар тонший. Прикордонний потік шару проявляє маломасштабну хаотичну турбулентність у трьох вимірах, накладену на регулярні чергуються вихрові структури. У цьому діапазоні\(C_D\) приблизно постійна і, таким чином, сили опору пропорційні квадрату швидкості. Цей режим чисел Рейнольда відповідає типовим швидкостям рухомих автомобілів.
E) Для Re\(\approx 10^6\), що характерно для літального літака, інерційні ефекти домінують за винятком вузького прикордонного шару, близького до розділу тверда рідина. Хаотична область працює далі вперед на циліндрі, зменшуючи об'єм хаотичного турбулентного прикордонного шару, що призводить до значного зменшення\(C_D\). Для крила вітрильника, що летить приблизно\(50\)\(knots\), прикордонний шар на передньому краї циліндра зменшується до порядку міліметра в товщину на передньому краї і сантиметра на задньому краю. У цих числах Рейнольда повітряний потік містить тонкий прикордонний шар, де важливі в'язкі ефекти, плюс потік рідини в основній частині рідини, де домінують вихрові інерційні умови і в'язкі сили можна ігнорувати. Тобто тензорний термін в'язкого напруження\(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T}\), розташований праворуч від Equation\ ref {16.97}, можна ігнорувати, а рівняння Нав'є-Стокса зводиться до більш простого рівняння Ейлера для такого нечіткого потоку рідини.
Важливість інерції вихорів ілюструється стійкістю вихрової структури і турбулентністю в широкому діапазоні довжин шкал, характерних для турбулентного потоку. Динамічний діапазон розмірності когерентних вихрових структур величезний. Наприклад, в атмосфері розмір вихору коливається від\(10^5\)\(m\) діаметра для ураганів до\(10^{−3}\)\(m\) тонких прикордонних шарів, прилеглих до крила літака. Перехід від ламінарного до турбулентного потоку ілюструється потоком води над корпусом судна, який передбачає ламінарний потік в носовій частині з подальшим турбулентним потоком за носовою хвилею і на кормі судна. Широкий ступінь білої піни морської води вздовж борта та корми корабля ілюструє значне розсіювання енергії, спричинене турбулентністю. Прикордонний шар заглохлого крила літака - ще один приклад. При високому куті атаки повітряний потік на нижній поверхні крила залишається ламінарним, тобто профіль швидкості потоку, щодо крила, плавно збільшується від нуля на поверхні крила назовні до тих пір, поки не зустріне швидкість навколишнього повітря на зовнішній поверхні прикордонного шару, яка становить порядок міліметр товщиною. Потік на верхній поверхні крила спочатку ламінарний, перш ніж стає турбулентним, в якій точці прикордонний шар швидко збільшується в товщині. Далі назад повітряний потік відривається від поверхні крила, а великомасштабні вихрові структури призводять до широкого прикордонного шару, порівнянного по товщині з хордою крила з вихровим рухом, що призводить до того, що повітряний потік змінює свій напрямок, примикає до верхньої поверхні крила, що значно збільшує опір. Коли вихори починають скидати з обмеженої поверхні, вони роблять це з певною частотою, що може спричинити вібрації, які можуть призвести до структурного руйнування, якщо частота проливних вихорів близька до резонансної частоти структури.
Значний час і зусилля витрачають аеродинаміки і гідродинаміки на проектування крил літаків і корпусів кораблів, щоб максимально збільшити довжину ламінарної області прикордонного шару для мінімізації опору. Коли число Рейнольдса велике, найменші недоліки форми крила, такі як пилинка, можуть спровокувати перехід від ламінарного до турбулентного потоку. Межі між суміжними великомасштабними когерентними структурами чутливо ідентифікуються в комп'ютерних моделюваннях великою розбіжністю обтічних ліній на будь-якій сепаратриці. Великий позитивний, скінченно-часовий показник Ляпунова ідентифікує розбіжність обтічних ліній, що виникає на сепаратриці між сусідніми великомасштабними когерентними вихровими структурами, тоді як показники Ляпунова є негативними для збіжних обтічних ліній всередині будь-якої когерентної структури. Обчислення турбулентного потоку часто поєднують використання скінченно-часових показників Ляпунова для ідентифікації когерентних структур, плюс механіку Лагранжа для рівнянь руху, оскільки Лагранжа є скалярною функцією, вона незалежна від кадру, і дає набагато кращі результати для руху рідини, ніж використання ньютоніана механіка. Таким чином, підхід Лагранжа в континуа широко використовується для розрахунків в аеродинаміці, гідродинаміці та дослідженнях атмосферних явищ, таких як конвекція, урагани, смерчі тощо.