16.5: Лінійні пружні тверді тіла

Еластичність - це властивість речовини, де атомні сили в речовині діють на відновлення форми твердого тіла при спотворенні внаслідок застосування зовнішніх сил. Ідеально еластичний матеріал повертається до початкової форми, якщо видаляється зовнішня сила, що виробляє деформацію. Матеріали еластичні, коли зовнішні сили не перевищують межі пружності. Вище межі пружності тверді речовини можуть проявляти пластичний потік і супутнє відведення тепла. Така непружна поведінка в твердих тілах виникає, коли вони піддаються сильним зовнішнім силам.

Обговорення лінійних систем, в розділах\(3\) і\(14\), зосередилося на одновимірних системах, таких як лінійний ланцюг, де поперечна жорсткість ланцюга була проігнорована. Розширення одновимірної лінійної ланцюга до двовимірних мембран, таких як обшивка барабана, є простим, якщо мембрана досить тонка, щоб можна було ігнорувати жорсткість мембрани. Еластичність для тривимірних твердих тіл вимагає обліку сильних пружних сил, що чиниться проти будь-якої зміни форми на додаток до пружних сил, що протистоять зміні об'єму. Жорсткість твердих тіл до змін форми, або обсягу, найкраще представляється за допомогою понять напруження і деформації.

Сили в матерії можна розділити на два класи;

1. сили тіла, такі як гравітація, які діють на кожен об'ємний елемент, і
2. поверхневі сили, які є силами, що діють по обидва боки будь-якого нескінченно малого елемента поверхні всередині твердого тіла.

Поверхневі сили можуть мати компоненти уздовж нормальної до нескінченномалої поверхні, а також зсувні складові в площині поверхневого елемента. Зазвичай тверді речовини еластичні як до нормальних, так і зсувних компонентів поверхневих сил, тоді як сили зсуву в рідисах і газах призводять до потоку рідини плюс в'язкі сили через розсіювання енергії. Як описано нижче, сили, що діють на нескінченномалий поверхневий елемент, найкраще виражаються в терміні тензора напружень, в той час як відносне спотворення форми, або об'єму, тіла найкраще виражається в терміні тензора деформації. Модулі пружності пов'язують співвідношення відповідних тензорів напруги і деформації. Модулі пружності є постійними в лінійних пружних твердих тілах, і, таким чином, напруга пропорційна деформації за умови, що деформації не перевищують межі пружності.

Тензор стресу

Розглянемо нескінченно малу площу поверхні\(d\mathbf{A}\) довільного замкнутого об'ємного елемента\(dV\) всередині середовища. Елемент площі поверхні визначається як вектор,\(d\mathbf{A} = \mathbf{\hat{n}} dA\) де\(\mathbf{\hat{n}}\) є зовнішньою нормаллю до замкнутої поверхні, яка охоплює об'ємний елемент. Припустимо, що\(d\mathbf{F}\) це силовий елемент, що чиниться зовні на матеріал всередині об'ємного елемента. Тензор напружень\(\mathbf{T}\) визначається як відношення\(d\mathbf{F}\) і\(d\mathbf{A}\) де вектор сили\(d\mathbf{F}\) задається внутрішнім добутком тензора напружень\(\mathbf{T}\) і вектора поверхневого елемента\(d\mathbf{A}\). Тобто,

\[d\mathbf{F} = \mathbf{T}\cdot d\mathbf{A} \label{16.33}\]

Оскільки обидва\(d\mathbf{F}\) і\(d\mathbf{A}\) є векторами, то Equation\ ref {16.33} має на увазі, що тензор напружень повинен бути тензором другого рангу\(19.5\), як описано в додатку, тобто тензор напружень аналогічний матриці обертання або тензору інерції. Зверніть увагу, що якщо\(d\mathbf{F}\) і\(\mathbf{\hat{n}}d\mathbf{A}\) є колінеарними, то тензор напруги\(\mathbf{T}\) знижується до звичайного тиску\(P\). Загальний тензор напружень дорівнює щільності потоку імпульсу і має розміри тиску.

тензор штаму

Сили, прикладені до твердого тіла, можуть призвести до поступального, або обертального прискорення, крім зміни форми або обсягу тіла. Пружні сили не діють, коли відбувається загальне\(\boldsymbol{\xi}\) зміщення нескінченномалого обсягу, наприклад, бере участь в поступальному або обертальному русі. Пружні сили діють на протистояння залежним від положення відмінностей вектора зміщення\(\boldsymbol{\xi}\), тобто деформація залежить від тензорного добутку\(\boldsymbol{\nabla} \otimes \boldsymbol{\xi}\). Для еластичного середовища деформація залежить тільки від прикладеного напруження, а не від попередньої історії навантаження.

Врахуйте, що матерія в місці розташування\(\mathbf{r}\) піддається пружному зміщенню\(\boldsymbol{\xi}\), і аналогічно в зміщеному місці,\(\mathbf{r}^{\prime} = \mathbf{r}+ \sum_i \frac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial x_i} dx_i\) де\(x_i\) знаходяться декартові координати. Чистий відносний зсув між\(\mathbf{r}\) і\(\mathbf{r}^{\prime}\) задається

\[d\xi^2 = \sum_i (dx_i + d\xi_i)^2 −\sum_i (dx_i)^2 = \sum_{ik} \left[ 2 \left( \frac{d\xi_i}{ dx_k} + \frac{d\xi_k}{ dx_i} \right) + \frac{d\xi_m}{ dx_i} \frac{d\xi_m}{ dx_k} \right] dx_i dx_k \label{16.34}\]

Ігнорування\(\frac{d\xi_m }{dx_i} \frac{d\xi_m }{dx_k}\) рівняння члена другого порядку дає,\(d\xi_i\) що\(i^{th}\) складова

\[d\xi_i = \sum_k \frac{1}{2} \left( \frac{d\xi_i}{ dx_k} + \frac{d\xi_k}{ dx_i} \right) dx_i dx_k \label{16.35}\]

Визначте елементи тензора деформації, які слід задати

\[\sigma_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{d\xi_i }{dx_k} + \frac{d\xi_k }{dx_i} \right) \label{16.36}\]

потім

\[d\xi_i = \sum_k \sigma_{ik} dx_i dx_k \label{16.37}\]

Таким чином, тензор деформації\(\boldsymbol{\sigma}\) - це тензор 2 рангу, який визначається як відношення вектора деформації\(\boldsymbol{\xi}\) та вектора нескінченної малої площі\(d\mathbf{A}\).

\[d\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{\sigma}\cdot d\mathbf{A} \label{16.38}\]

де складова форма тензора штаму рангу -2

\[\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{ 2 } \begin{vmatrix} \frac{d\xi_1 }{dx_1} & \frac{d\xi_1}{ dx_2} & \frac{d\xi_1 }{dx_3} \\ \frac{d\xi_2}{ dx_1} & \frac{d\xi_2 }{dx_2} & \frac{d\xi_2 }{dx_3} \\ \frac{d\xi_3}{ dx_1} & \frac{d\xi_3}{ dx_2 } & \frac{d\xi_3}{ dx_3} \end{vmatrix} \label{16.39}\]

Потенціально-енергетична щільність для лінійних пружних сил є квадратичною в деформаційних компонентах. Тобто вона має форму

\[U = \sum_{ijkl} \frac{1}{2} C_{ijkl}\sigma_{ij}\sigma_{kl} \label{16.40}\]

де\(C_{ijkl}\) - тензор ранга-4. Для однорідного ізотропного еластичного тіла не залишається переважних напрямків, що дозволяє здійснювати два скорочення, тим самим знижуючи потенційну щільність енергії до внутрішнього продукту.

\[U = \sum_{ik} \frac{1}{2} D_{ik} (\sigma_{ik})^2 \label{16.41}\]

Модулі пружності

Модуль пружності тіла визначається як нахил кривої напруження-деформація і, таким чином, в принципі, це складний тензор 4-го рангу, який характеризує пружні властивості матеріалу. Таким чином, загальна теорія пружності ускладнюється тим, що пружні властивості залежать від орієнтації мікроскопічного складу пружної речовини. Теорія значно спрощується для однорідних, ізотропних лінійних матеріалів нижче пружної межі, де деформація пропорційна прикладеному напруженню. Тобто модуль пружності потім зменшується скороченнями до постійної скалярної величини, яка залежить від властивостей задіяної речовини.

Щільність потенційної енергії для однорідного, ізотропного, лінійного матеріалу, Equation\ ref {16.41}, можна розділити на діагональні та позадіагональні складові тензора деформації. Тобто,

\[U = \frac{1}{2} \left[ \lambda \sum_i (\sigma_{ii})^2 + 2\mu \sum_{ik} (\sigma_{ik})^2 \right] \label{16.42}\]

Діагональний перший член - це термін розширення, який відповідає змінам обсягу без змін форми. Позадіагональний другий термін включає терміни зсуву, які відповідають змінам форми тіла, що також змінює об'єм. Константи\(\lambda \) і\(\mu \) є модулями пружності Ламе, які є позитивними. Різні модулі пружності, що відповідають різним спотворенням форми та об'єму будь-якого твердого тіла, можуть бути отримані з модулів Ламе для матеріалу.

Складові пружних сил можуть бути отримані з градієнта пружної потенційної енергії, Equation\ ref {16.42} за допомогою закону Гаусса плюс векторного диференціального числення. Складові сили пружності, отримані від тензора деформації\(\boldsymbol{\sigma}\), можуть бути пов'язані з відповідними компонентами тензора напружень\(\mathbf{T}\). Таким чином, для однорідних ізотропних лінійних матеріалів компоненти тензора напружень пов'язані з тензором деформації співвідношенням

\[T_{ij} = \lambda \delta_{ij} \sum_k \frac{\partial\xi_k }{\partial x_k} + \mu \left( \frac{d\xi_i}{ dx_j } + \frac{d\xi_j}{ dx_i} \right) = \lambda \delta_{ij} \sum_k \sigma_{kk} + 2\mu \sigma_{ij} \label{16.43}\]

де передбачалося, що\(\sigma_{ij} = \sigma_{ji}\). Два модулі пружності\(\lambda \) і\(\mu\) є матеріально-залежними константами. Рівняння\ ref {16.43} можна записати в тензорні позначення як

\[\mathbf{T} = \lambda tr (\boldsymbol{\sigma}) \mathbf{I} + 2\mu \boldsymbol{\sigma} \label{16.44}\]

де\(tr(\sigma )\) - слід тензора деформації і\(I\) матриця ідентичності.

Рівняння\ ref {16.44} може бути інвертовано для отримання тензорних компонентів деформації через компоненти тензора напружень.

\[\sigma_{ij} = \frac{1}{ 2\mu} \left[ T_{ij} − \frac{\lambda }{(3\lambda + 2\mu )} \sum_k T_{kk} \delta_{ij}\right] \label{16.45}\]

Різні модулі пружності стосуються комбінацій різних компонентів тензора напруги та деформації. Наступні п'ять модулів пружності часто використовуються для опису пружності в однорідних ізотропних середовищах, і всі вони пов'язані з двома модулями пружності Ламе.

1) Модуль Юнга\(E\) описує пружність при розтягуванні, яка є осьовою жорсткістю довжини тіла до деформації вздовж осі прикладеної сили розтягування.

\[E \equiv \frac{T_{11}}{ \sigma_{11}} = \frac{\mu (3\lambda + 2\mu )}{ (\lambda + \mu ) } \label{16.46}\]

2) Об'ємний модуль\(B = \frac{\Delta V}{V}\) визначає відносне розширення або стиснення об'єму тіла до тиску, що застосовується рівномірно у всіх напрямках.

\[B = \lambda + \frac{2}{ 3} \mu \label{16.47}\]

Об'ємний модуль є продовженням модуля Юнга до трьох вимірів і, як правило, більше, ніж\(E\). Зворотний модуль об'ємної пружності називається стисливістю матеріалу.

3) Модуль зсуву\(G\) описує жорсткість зсуву тіла до деформацій зсуву, що зберігають обсяг. Деформація зсуву\(\sigma\) стає кутом деформації, заданим співвідношенням зміщення вздовж осі сили зсуву і перпендикулярного моменту плеча. Модуль зсуву\(G\) дорівнює постійній Ламе\(\mu \). Тобто,

\[G = \mu \label{16.48}\]

4) Відношення Пуассона\(\nu\) - негативне відношення поперечної до осьової деформації. Це міра тенденції збереження обсягу тіла до скорочення в напрямках, перпендикулярних осі, вздовж якої воно розтягується. З точки зору констант Ламе, коефіцієнт Пуассона дорівнює

\[\nu = \frac{\lambda }{2 (\lambda + \mu )} \label{16.49}\]

Зверніть увагу, що для стабільного, ізотропного пружного матеріалу відношення Пуассона обмежується між тим,\(−1.0 \leq \nu \leq 0.5\) щоб забезпечити\(B\),\(\mu \) і\(\lambda \) модулі мають позитивні значення. На нестисливому межі\(\nu = 0.5\), а об'ємний модуль і параметр Ламе\(\lambda \) нескінченні, тобто стисливість дорівнює нулю. Типові тверді речовини мають співвідношення Пуассона,\(\nu \approx 0.05\) якщо тверді, а\(\nu = 0.25\) якщо м'які.

Жорсткість пружних твердих тіл за модулями пружності твердих тіл може ускладнюватися через геометрію і склад твердих тіл. Часто зручніше виражати жорсткість з точки зору постійної пружини\(\kappa \), де

\[\kappa = \frac{dF}{ dx} \label{16.50}\]

Константа пружини обернено пропорційна довжині пружини, оскільки деформація матеріалу визначається як фракційна деформація, а не абсолютна деформація.

16.5.4 Рівняння руху в однорідному пружному середовищі

Теорема розбіжності\((H.8)\) пов'язує об'ємний інтеграл розбіжності\(\mathbf{T}\) до векторної щільності сили, що\(\mathbf{F}\) діє на замкнуту поверхню.

\[\mathbf{F} = \oint \mathbf{T}\cdot d\mathbf{A} = \int \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T}d\tau = \int \mathbf{f}d\tau \label{16.51}\]

Тобто внутрішній добуток оператора дель\(\boldsymbol{\nabla}\), і тензор напружень рангу 2\(\mathbf{T}\), дають векторну щільність сили\(\mathbf{f}\). Ця сила, що діє на вкладену масу\(\oint \rho d\tau \), для замкнутого обсягу призводить до прискорення\(\frac{\partial^2 \boldsymbol{\xi}}{ \partial t^2}\). Таким чином

\[\mathbf{F} = \oint \mathbf{T}\cdot d\mathbf{A} = \int \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T}d\tau = \oint \rho \frac{ \partial^2\boldsymbol{\xi}}{ \partial t^2} d\tau \label{16.52}\]

Використовуйте рівняння\ ref {16.44} для співвіднесення тензора напружень\(\mathbf{T}\) до модулів пружності

\[\rho \frac{ \partial^2\boldsymbol{\xi}_i }{\partial t^2} = \sum_j \left[ (\lambda + \mu ) \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_j}{ \partial x_i \partial x_j} + \mu \frac{ \partial^2 \boldsymbol{\xi}_i }{\partial x^2_j} \right] \label{16.53}\]

де\(i = 1, 2, 3\). Взагалі це рівняння важко вирішити. Однак для простого випадку плоскої хвилі в\(i = 1\) напрямку задача зводиться до наступних трьох рівнянь

\[\rho \frac{ \partial^2\boldsymbol{\xi}_1}{ \partial t^2 } = (\lambda + 2\mu ) \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_1}{ \partial x^2_1} \label{16.54}\]

\[\rho \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_2}{ \partial t^2} = \mu \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_2}{ \partial x^2_1} \label{16.55}\]

\[\rho \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_3}{ \partial t^2} = \mu \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_3 }{\partial x^2_1} \label{16.56}\]

Рівняння\ ref {16.54} відповідає поздовжній хвилі, що рухається зі швидкістю\(v = \sqrt{\frac{(\lambda +2\mu )}{ \rho}}\). Рівняння\ ref {16.55},\ ref {16.56} відповідають двом перпендикулярним поперечним хвилям, що рухаються зі швидкістю\(v = \sqrt{\frac{\mu }{\rho }}\). Це ілюструє важливий факт, що поздовжні хвилі рухаються швидше, ніж поперечні хвилі в пружному твердому тілі. Сейсмічні хвилі на Землі, породжені землетрусами, виявляють цю властивість. Зверніть увагу, що напруження зсуву не існує в ідеальних рідинях та газах, оскільки вони не можуть підтримувати сили зсуву і, отже,\(\mu = 0\).