16.4: Формулювання густини гамільтона для неперервних систем

Розділ\(16.3\) проілюстрував, в загальних рисах, як теорія поля може бути виражена в формулюванні Лагранжа за допомогою щільності Лагранжа. В рівній мірі можна отримати гамільтонівську формулювання для неперервних систем, аналогічну тій, яка отримана для дискретних систем. Як підсумовано в главі\(8\), канонічні рівняння руху Гамільтона та Гамільтона пов'язані безпосередньо з Лагранжа за допомогою перетворення Лежандра. Гамільтоніан визначається як буття

\[H\equiv \sum_i \left( \dot{q}_i \frac{\partial L}{ \partial \dot{q}_i} \right) − L \label{16.24}\]

Узагальнений імпульс визначається як

\[p_i \equiv \frac{\partial L}{ \partial \dot{q}_i} \label{16.25}\]

Рівняння\ ref {16.25} дозволяє записати гамільтоніан\ ref {16.24} через сполучених моментів як

\[H (q_i, p_i, t) = \sum_i p_i\dot{q}_i − L(q_i, \dot{q}_i, t) = \sum_i (p_i\dot{q}_i − L_i(q_i, \dot{q}_i, t)) \label{16.26}\]

де Лагранж був розділений на терміни для кожної з окремих координат, тобто\(L (q_i, \dot{q}_i, t) = \sum_i L_i(q_i, \dot{q}_i, t)\).

У межі, що координати\(q, p\) є неперервними, то підсумовування в Equation\ ref {16.26} може бути перетворено в об'ємний інтеграл над густиною Лагранжа\(\mathfrak{L}\). Крім того, щільність імпульсу може бути представлена векторним полем\(\boldsymbol{\pi}\), де

\[\boldsymbol{\pi} \equiv \frac{\partial \mathfrak{L}}{ \partial \mathbf{\dot{q}}} \label{16.27}\]

Тоді очевидним визначенням густини гамільтона\(\mathfrak{H}\) є

\[H = \int \mathfrak{H}d\tau = \int (\boldsymbol{\pi} \cdot \mathbf{\dot{q}}−\mathfrak{L}) d\tau \label{16.28}\]

де гамільтонова щільність визначена як

\[\mathfrak{H} =\boldsymbol{\pi} \cdot \mathbf{\dot{q}}−\mathfrak{L} \label{16.29}\]

На жаль, формулювання густини гамільтона не розглядає простір і час симетрично, що ускладнює розробку релятивістично коваріантних описів полів. Принцип Гамільтона може бути використаний для отримання рівнянь руху Гамільтона з точки зору густини Гамільтона, аналогічного підходу, який використовується для отримання рівнянь густини Лагранжа руху. Як описано в класичній механіці\(2^{nd}\) видання Гольдштейна, результуючі рівняння руху Гамільтона для одного виміру

\[\frac{\partial \mathfrak{H}}{ \partial \pi }= \dot{q} \label{16.30}\]

\[\frac{\partial \mathfrak{H}}{ \partial q} − \frac{d}{dx} \frac{\partial \mathfrak{H}}{ \partial q^{\prime}} = −\dot{\pi} \label{16.31}\]

\[\frac{\partial \mathfrak{H}}{ \partial t} = −\frac{\partial \mathfrak{L}}{ \partial t} \label{16.32}\]

Зауважте, що Equation\ ref {16.31} відрізняється від рівняння для розривних систем.