Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

16.2: Безперервний рівномірний лінійний ланцюг

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75973

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Лагранж для дискретного ґратчастого ланцюга, для поздовжніх мод, задається рівнянням,\((14.10.3)\) яке буде

    \[L = \frac{1}{2} \sum^{n+1}_{j=1} \left( m\dot{q}^2_j - \kappa (q_{j-1} – q_j)^2\right)\label{16.1}\]

    де\(n\) маси прикріплені послідовно до\(n+1 \) однакових пружин довжини\(d\) і постійної пружини\(\kappa \). Припустимо, що пружина має рівномірну площу перерізу\(A\) і довжину\(d\). Тоді кожен пружинний об'ємний елемент\(\Delta \tau = Ad\) має масу\(m\), тобто об'ємну масу, щільність\(\rho = \frac{m }{\Delta \tau}\) або\(m = \rho \Delta \tau \). Глава\(16.5\) покаже, що постійна пружини,\(\kappa = \frac{EA}{ d}\) де\(E\) модуль Юнга,\(A\) є площею поперечного перерізу елемента ланцюга, і\(d\) є довжиною елемента. Тоді постійну пружини можна записати як\(\kappa = \frac{E\Delta \tau }{ d^2} \). Тому рівняння\ ref {16.1} може бути виражено у вигляді суми над об'ємними елементами\(\Delta \tau = Ad\)

    \[L = \frac{1}{2} \sum^{n+1}_{j=1} \left( \rho \dot{q}^2_j − E \left(\frac{q_{j-1} -q_j}{d} \right)^2 \right) \Delta \tau \label{16.2}\]

    У межі, що\(n \rightarrow \infty\) і інтервал\(d = dx \rightarrow 0\), то підсумовування в Equation\ ref {16.2} може бути записано як об'ємний інтеграл, де\(x = jd\) відстань по лінійному ланцюжку і об'ємний елемент\(\boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{\tau} \rightarrow \mathcal{0}\). Тоді Лагранж може бути записаний як інтеграл над об'ємним елементом,\(d\tau\) а не підсумовування\(\Delta \tau \). Тобто,

    \[L = \frac{1}{ 2} \int \left( \rho \dot{q}^2 − E \left(\frac{dq(x, t)}{ dx }\right)^2 \right) d\tau\label{16.3}\]

    Координата дискретного ланцюга\(q(t)\) приймається як неперервна функція\(q(x, t)\) для рівномірного ланцюга. Таким чином, інтегральна форма Лагранжа може бути виражена як

    \[L = \frac{1}{2} \int \left( \rho \dot{q}^2 − E \left( \frac{dq(x, t) }{dx } \right)^2 \right) d\tau = \int \mathfrak{L}d\tau \label{16.4}\]

    де функція\(\mathfrak{L}\) називається щільністю Лагранжа, що визначається

    \[\mathfrak{L} \equiv \frac{1}{2} \left( \rho \dot{q}^2 − E \left(\frac{dq(x, t) }{dx }\right)^2 \right) \label{16.5}\]

    Змінна\(x\) в щільності Лагранжа не є узагальненою координатою; вона виконує лише роль неперервного індексу, який раніше грав індекс\(j\). Для дискретного випадку кожне значення\(j\) визначається різною узагальненою координатою\(q_i\). Тепер для кожного значення\(x\) існує безперервна функція,\(q(x, t)\) яка є функцією як позиції, так і часу.

    Рівняння руху Лагранжа, застосовані до неперервного Лагранжа в рівнянні\ ref {16.4} дає

    \[\rho \frac{ d^2q}{ dt^2} − E \frac{d^2q}{ dx^2} = 0 \label{16.6}\]

    Це знайоме хвильове рівняння в одному вимірі для поздовжньої хвилі на безперервному ланцюзі з фазовою швидкістю.

    \[v_{phase} = \sqrt{\frac{E}{ \rho}} \label{16.7}\]

    Безперервний лінійний ланцюг також може проявляти поперечні режими, які мають щільність Лагранжа, де модуль Юнга\(E\) замінюється напругою\(\tau\) в ланцюзі, і\(\rho\) замінюється лінійною\(\mu\) щільністю маси ланцюга, що призводить до фазової швидкості для поперечної хвилі \(v_{phase} = \sqrt{\frac{\tau}{\mu}}\).