14.S: З'єднані лінійні осцилятори (резюме)

Цей розділ зосереджений на багатотілесних зв'язаних лінійних системах осциляторів, які є всюдисущою особливістю в природі. Короткий зміст основних висновків наступні.

Звичайні режими

Показано, що зв'язані лінійні осцилятори мають нормальні режими та нормальні координати, які відповідають незалежним режимам коливань з характерними власними частотами\(\omega_i\).

Загальна аналітична теорія зв'язаних лінійних осциляторів

Механіка Лагранжа була використана для отримання загальної аналітичної процедури розв'язання задачі багатотілового зв'язаного осцилятора, яка зводиться до умовної задачі на власні значення. Короткий зміст процедури розв'язання зв'язаних задач осцилятора виглядає наступним чином:.

1) Виберіть узагальнені координати\(q_j\) і оцінити\(T\) і\(U\).

\[T = \frac{1}{2} \sum^{n}_{j,k} T_{jk} \dot{q}_j\dot{q}_k\]

і

\[U^{\prime} = \frac{1}{2} \sum^n_{j,k} V_{jk} q_j q_k \label{12.42}\]

де складові\(\mathbf{T}\) та\(\mathbf{V}\) тензори

\[T_{j k} \equiv\left(\sum_{\alpha}^{N} m_{\alpha} \sum_{i}^{3} \frac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_{j}} \frac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_{k}}\right)_{0} \label{12.43}\]

і

\[V_{j k} \equiv\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial q_{j} \partial q_{k}}\right)_{0} \label{12.44}\]

2) Визначте власні значення\(\omega_r\) за допомогою світського детермінанта.

\[\begin{vmatrix} V_{11} − \omega^2 T_{11} & V_{12} − \omega^2 T_{12} & V_{13} − \omega^2 T_{13} & ... \\ V_{12} − \omega^2 T_{12} & V_{22} − \omega^2 T_{22} & V_{23} − \omega^2 T_{23} & ... \\ V_{13} − \omega^2 T_{13} & V_{23} − \omega^2 T_{23} & V_{33} − \omega^2 T_{33} & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{vmatrix} = 0 \]

3) Власні вектори отримують шляхом вставки власних значень\(\omega_r\) в

\[\sum^n_j (V_{jk} − \omega^2_r T_{jk} ) a_j = 0 \label{12.51}\]

4) З початкових умов визначають складні масштабні фактори\(\beta_r\), де

\[\eta_r(t) \equiv \beta_r e^{i\omega_rt}\]

5) Визначте нормальні координати, де кожен\(\eta_r\) є нормальним режимом. Нормальні координати можуть бути виражені як

\[\boldsymbol{\eta} = \mathbf{\{a\}^{-1}}\mathbf{q}\]

Малокорпусні зв'язані системи осциляторів

Загальноаналітичну теорію використовували для визначення розв'язків паралельних і послідовних зв'язків двох і трьох лінійних осциляторів. Спостережувані явища включають вироджені та невироджені власні значення та хибні коливальні моди центру маси. Існує дві широкі класифікації для трьох або більше пов'язаних осциляторів, тобто або повне зчеплення всіх осциляторів, або з'єднання найближчих до сусідів осциляторів. Помічено, що власна величина, що відповідає найбільш когерентному руху зв'язаних осциляторів, відповідає найбільш колективному руху, а його власна величина найбільше витісняється за енергією від решти власних значень. Для деяких систем цей когерентний колективний режим відповідав руху центру маси без внутрішнього збудження інших режимів, а інші власні значення відповідали модам з внутрішнім збудженням осциляторів таким чином, що центр мас нерухомий. Вищевказана процедура була застосована до двох класифікацій зчеплення, повного зчеплення багатьох осциляторів та найближчої сусідської муфти. Спостерігалися як вироджені, так і паразитні режими центру маси. Сильні ступені свободи колективної форми в ядрах є прикладами повного зчеплення через слабкі залишкові взаємодії між нуклонами в ядрі. Було помічено, що для багатьох зв'язаних осциляторів один когерентний стан відокремлюється від інших станів, і цей когерентний стан несе основну частину колективної сили.

Дискретна решітка ланцюга

Поперечний і поздовжній режими руху на дискретному гратчастому ланцюзі обговорювалися через важливу роль, яку вона відіграє в природі, наприклад, в кристалічних гратчастих структурах. Обговорювалися як нормальні режими, так і біжучі хвилі, включаючи явища дисперсії та частоти зрізу. Молекули та ланцюги кристалічної решітки є прикладами, де проявляється найближча сусідська зв'язка. Показано, що для дискретного гратчастого ланцюга\(n\) −осцилятора існують лише\(n\) незалежні поздовжні\(n\) режими плюс режими для двох поперечних поляризацій, і\(\omega_r \leq 2\omega_0\) що існує кутова частота, тобто частота зрізу.

Затухаючі зв'язані лінійні осцилятори

Показано, що лінійно-демпфіровані зв'язані осциляторні системи можуть бути розв'язані аналітично, використовуючи концепцію функції дисипації Релея.

Колективна синхронізація зв'язаних осциляторів

Схематична фазова модель Курамото була використана для ілюстрації того, як слабкі залишкові сили можуть викликати колективну синхронізацію руху багатьох зв'язаних осциляторів. Це стосується багатьох великих пов'язаних систем, таких як ядра, молекули та біологічні системи.