14.11: Затухаючі з'єднані лінійні осцилятори

Обговорення зв'язаних лінійних осциляторів знехтувало неконсервативними силами демпфування, які завжди існують певною мірою у фізичних системах. Загалом, дисипативні сили нелінійні, що значно ускладнює розв'язування рівнянь руху для таких зв'язаних осциляторних систем. Однак для деяких систем дисипативні сили лінійно залежать від швидкості, що дозволяє використовувати функцію дисипації Релея, описану в розділі\(10.4\). Найбільш загальне визначення функції дисипації Релея\(10.4\), було дано

\[\mathcal{R} = \frac{1}{2} \sum^n_{i=1} \sum^n_{j=1} c_{ij} \dot{q}_i\dot{q}_j \]

Для цього особливого випадку в главі було показано,\(10\) що рівняння Лагранжа можна записати через функцію дисипації Релея як

\[\left\{ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} \right\} + \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \dot{q}_j} = Q_j \label{14.120}\]

де\(Q_j\) узагальнені сили, що діють на систему, які не поглинаються в потенціал\(U\). Використання\((14.6.17)\)\((14.6.18)\) рівнянь і\ ref {14.120} дозволяє записати рівняння руху для затухаючих зв'язаних лінійних осциляторів в матричному вигляді як

\[\mathbf{\{T\}} \mathbf{\ddot{q}} + \mathbf{\{C\}} \mathbf{\dot{q}}+ \mathbf{\{V\}} \mathbf{q} = \mathbf{\{Q\}} \]

де симетричні матриці\(\mathbf{\{T\}}\)\(\mathbf{\{C\}}\), і\(\mathbf{\{V\}}\) є додатними визначеними для позитивних певних систем. Релі зазначив, що в особливому випадку, коли демпфірующая матриця\(\mathbf{\{C\}}\) являє собою лінійну комбінацію\(\mathbf{\{V\}}\) матриць\(\mathbf{\{T\}}\) і, то матриця\(\mathbf{\{C\}}\) є діагоналлю, що призводить до поділу затухаючої системи на нормальні режими. Як обговорюється в розділі 4, багато систем в природі є лінійними для малих амплітудних коливань, що дозволяє використовувати функцію дисипації Релея, яка забезпечує аналітичне рішення. Однак загалом, за винятком випадків, коли\(\mathbf{\{C\}}\) мало, цей поділ на нормальні режими неможливий для затухаючих систем, і рішення повинні бути отримані чисельно.

Наступний приклад ілюструє підходи, що використовуються для обробки лінійно-демпфірованих систем генераторів.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Two linearly-damped coupled linear oscillators

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Два лінійно затухаючих з'єднаних лінійних осциляторів.

Розглянемо дві зв'язані системи осциляторів, показані там, де два візки мають пружинні константи\(k_1, k_2\) та лінійні демпфуючі константи\(c_1c_2\). Як обговорювалося в прикладі\(14.7.2\), тензор кінетичної енергії задається

\[T = \frac{1}{2} m_1 \dot{q}^2_1 + \frac{1}{2} m_2 \dot{q}^{2}_{2} \label{a}\tag{a}\]

і потенційна енергія дається

\[U = \frac{1}{2} \left[ k_1q^2_1 + k_2 (q_2 − q_1)^2 \right] \\ = \frac{1}{2} \left[ (k_1 + k_2) q^2_1 − 2k_2q_1q_2 + k_2q_2^2 \right] \label{b}\tag{b}\]

Аналогічно функція розсіювання Релея має вигляд:

\[\mathcal{R} =\frac{1}{2} \left[ c_1\dot{q}^2_1 + c_2 ( \dot{q}^2_2 − \dot{q}^2_1 )\right] = \frac{1}{2} \left[ (c_1 + c_2) \dot{q}^2_1 − 2c_2\dot{q}_1\dot{q}_2 + c_2\dot{q}^2_2 \right] \label{c}\tag{c}\]

Вставка рівнянь\ ref {a},\ ref {b} та\ ref {c} в рівняння\ ref {14.120} дає два рівняння руху, які мають бути

\[m_1 \ddot{q}_1 + (c_1 + c_2) \dot{q}_1 − c_2\dot{q}_2 + (k_1 + k_2) q_1 − k_2q_2 = 0 \\ m_2 \ddot{q}_2 − c_2\dot{q}_1 + c_2\dot{q}_2 − k_2q_1 + k_2q_2 = 0 \nonumber\]

Коли опір дорівнює нулю, рішення цих двох зв'язаних рівнянь можна розділити на два незалежних нормальних режими системи, як описано раніше. Зазвичай неможливо розділити рух на розділені нормальні режими, за винятком певних випадків, коли дисипативні сили можуть бути описані функцією розсіювання Релея.