14.6: Загальна аналітична теорія зв'язаних лінійних осциляторів

Обговорення системи зв'язаних подвійних осциляторів у розділі\(14.5\) показало, що можна вибрати симетричні та антисиметричні нормальні режими, які є незалежними і кожен має характерні частоти. Нормальні координати для цих двох нормальних режимів відповідають лінійним накладенням просторових амплітуд двох осциляторів і можуть бути отримані шляхом обертання у відповідну нормальну систему координат. Розширення цього на системи, що містять\(n\) зв'язані лінійні осцилятори, вимагає розробки загальної аналітичної теорії, яка здатна знаходити нормальні режими, їх власні значення та власні вектори. Як показано для подвійного генератора, рішення багатьох пов'язаних лінійних осциляторів є класичною проблемою власного значення, де потрібно обертатися до системи головної осі, щоб проектувати нормальні режими. Наступна дискусія представляє загальний підхід до проблеми пошуку нормальних координат для системи\(n\) зв'язаних лінійних осциляторів.

Розглянемо консервативну систему\(n\) зв'язаних осциляторів, описану в терміні узагальнених координат\(q_k\) і\(t\) з\(k = 1, 2, 3, \ldots, n\) індексом для системи зі\(n\) ступенями свободи. Вважається, що зв'язані осцилятори мають стабільну рівновагу з узагальненими координатами\(q_{k0}\) при рівновазі. Крім того, передбачається, що амплітуди коливань досить малі, щоб система була лінійною.

Для положення\(q_k = q_{k0}\) рівноваги рівняння Лагранжа повинні задовольняти

\[\begin{align} \dot{q}_k = 0 \label{12.27} \\ \ddot{q}_k = 0 \notag \end{align}\]

Кожен ненульовий член форми\(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\) у рівняннях Лагранжа повинен містити принаймні один\(\dot{q}_k\) або\(\ddot{q}_k\) нуль при рівновазі; таким чином, всі такі члени зникають при рівновазі. При рівновазі

\[\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\right)_0 = \left(\frac{\partial T}{\partial q_k}\right)_0 − \left(\frac{\partial U}{\partial q_k}\right)_0 = 0 \label{12.28}\]

де індекс\(0\) позначає рівновагу.

Тензор кінетичної енергії T

У розділі\(7.6\) показано, що за фіксованими прямокутними координатами кінетична енергія\(N\) тіл з\(n\) узагальненими координатами виражається у вигляді

\[T = \frac{1}{2} \sum^N_{ \alpha =1} \sum^3_{i=1 } m_{\alpha} \dot{x}^2_{\alpha ,i} \label{12.29}\]

Висловлюючи їх через узагальнені координати\(j = 1, 2, ...n\),\(x_{\alpha ,i} = x_{\alpha ,i}(q_j , t)\) де, потім узагальнені швидкості задаються

\[\dot{x}_{\alpha ,i} = \sum^n_{j=1} \frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t} \label{12.30}\]

Як обговорювалося в розділі\(7.6\), якщо система є склерономічною, то часткова похідна

\[\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t} = 0 \label{12.31}\]

Таким чином, кінетичну енергію, рівняння\ ref {12.29}, склерономічної системи можна записати як однорідну квадратичну функцію узагальнених швидкостей

\[T = \frac{1}{2} \sum^{n}_{j,k} T_{jk} \dot{q}_j \dot{q}_k \label{12.32}\]

де складовими тензора кінетичної енергії\(\mathbf{T}\) є

\[T_{jk} \equiv \sum^{N}_{\alpha} m_{\alpha} \sum^3_i \frac{ \partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_j} \frac{ \partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_k} \label{12.33}\]

Зверніть увагу, що якщо швидкості\(\dot{q}\) відповідають швидкості поступального, то тензор кінетичної енергії\(\mathbf{T}\) відповідає ефективному тензору маси, тоді як якщо швидкості відповідають кутовим швидкостям обертання, то тензор кінетичної енергії\(\mathbf{T}\) відповідає тензору інерції.

Можна зробити розширення\(T_{jk}\) про рівноважних значень форми

\[T_{jk} (q_1, q_2, ..q_n) = T_{jk} (q_{i0}) + \sum_l \left(\frac{\partial T_{jk}}{\partial q_l}\right)_0 q_l + ... \label{12.34}\]

Тільки термін першого порядку буде зберігатися, оскільки другий і вищий терміни мають той самий порядок, що і умови вищого порядку, ігноровані при розширенні потенціалу Тейлора. Таким чином, в точці рівноваги припустимо, що\(\left(\frac{\partial T}{\partial q_k} \right)_0 = 0\) де\(k = 1, 2, 3, ...n\).

Тензор потенційної енергії V

Рівняння\ ref {12.28} плюс\ ref {12.34} означають, що

\[\left(\frac{\partial U}{\partial q_k}\right)_0 = 0 \label{12.35}\]

де\(k = 1, 2, 3, ...n\).

Зробіть розширення Тейлора про рівновагу для потенційної енергії, припускаючи для простоти, що координати були перекладені, щоб забезпечити\(q_k = 0\) рівновагу. Це дає

\[U (q_1, q_2, ..q_n) = U_0 + \sum_k \left(\frac{\partial U}{\partial q_k}\right)_0 q_k + \frac{1}{2} \sum_{ j,k} \left( \frac{\partial^2 U}{ \partial q_j \partial q_k } \right)_0 q_j q_k + .. \label{12.36}\]

Лінійний член дорівнює нулю, так як\(\left( \frac{\partial U}{\partial q_k} \right)_0 = 0\) в точці рівноваги, і без втрати спільності потенціал може бути виміряний щодо\(U_0\). Припустимо, що амплітуди невеликі, тоді розширення можна обмежити квадратичним терміном, відповідним простому лінійному потенціалу осцилятора

\[U (q_1, q_2, ..q_n) − U_0 = U^{\prime} (q_1, q_2, ..q_n) = \frac{1}{2} \sum_{ j,k} \left( \frac{\partial^2 U} {\partial q_j\partial q_k} \right)_0 q_j q_k = \frac{1}{2} \sum_{j,k} V_{jk} q_j q_k \label{12.37}\]

Тобто

\[U^{\prime} (q_1, q_2, ..q_n) = \frac{1}{2} \sum_{j,k} V_{jk} q_j q_k \label{12.38}\]

де компоненти тензора потенційної енергії\(\mathbf{V}\) визначаються як

\[V_{jk} \equiv \left( \frac{\partial^2 U^{\prime}}{ \partial q_j\partial q_k} \right)_0 \label{12.39}\]

Зверніть увагу, що порядок диференціації неважливий і, отже, кількість\(V_{jk}\) симетрична.

\[V_{jk} = V_{kj} \label{12.40}\]

Задано рух системи для малих коливань навколо положення рівноваги і показано, що\(U^{\prime} (q_1, q_2, ...q_n)\) має мінімальне значення при рівновазі, яке для зручності приймається рівним нулю.

На закінчення рівняння\ ref {12.32} і\ ref {12.38} дають

\[T = \frac{1}{2} \sum^n_{j,k} T_{jk} \dot{q}_j \dot{q}_k \label{12.41} \]

\[U^{\prime} = \frac{1}{2} \sum^n_{j,k} V_{jk} q_j q_k \label{12.42}\]

де складовими тензора кінетичної енергії\(\mathbf{T}\) та тензора потенційної енергії\(\mathbf{V}\) є

\[T_{j k} \equiv\left(\sum_{\alpha}^{N} m_{\alpha} \sum_{i}^{3} \frac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_{j}} \frac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_{k}}\right)_{0} \label{12.43}\]

\[V_{j k} \equiv\left(\frac{\partial^{2} U^{\prime}}{\partial q_{j} \partial q_{k}}\right)_{0} \label{12.44}\]

Зверніть увагу, що\(q_j\) і\(q_k\) можуть мати різні одиниці, але всі терміни в підсумовуванні для обох\(T\) і\(U^{\prime}\), мають одиниці енергії. \(T_{jk}\)Значення\(V_{jk}\) і оцінюються в точці рівноваги, і, таким чином, обидва\(V_{jk}\) і\(T_{jk}\) є\(n \times n\) масивами значень, оцінених в місці рівноваги.

Рівняння руху

І кінетична енергія, і потенційна енергія члени є добутками координат, що ведуть до набору зв'язаних рівнянь, які важко вирішити. Проблема значно спрощується шляхом вибору набору нормальних координат, для яких обидва\(T\) і\(U\) є діагональними, потім зчеплення зникають. Таким чином, необхідно знайти перетворення координат, яке одночасно діагоналізує\(T_{jk}\) і для\(V_{jk}\) того, щоб отримати набір нормальних координат.

Кінетична енергія\(T\) є лише функцією узагальнених швидкостей,\(\dot{q}_k\) тоді як консервативна потенційна енергія є лише функцією узагальнених координат\(q_k\). Таким чином, рівняння Лагранжа

\[\frac{\partial L}{\partial q_k} − \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = 0 \label{12.45}\]

звести до

\[\frac{\partial U}{\partial q_k} + \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} = 0 \label{12.46}\]

Але

\[\frac{\partial U}{\partial q_k} = \sum^n_j V_{jk} q_j \label{12.47}\]

і

\[\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} = \sum^n_j T_{jk} \dot{q}_j \label{12.48}\]

Таким чином, рівняння Лагранжа зводяться до наступного набору рівнянь руху,

\[\sum^n_j (V_{jk} q_j + T_{jk} \ddot{q}_j )=0 \label{12.49}\]

Для кожного\( k\), де\(1 \leq k \leq n\), існує набір лінійних однорідних диференціальних рівнянь\(n\) другого порядку з постійними коефіцієнтами. Так як система коливальна, природно спробувати рішення форми

\[q_j (t) = a_j e^{i(\omega t−\delta )} \label{12.50}\]

Припускаючи, що система консервативна, то це означає, що\(\omega\) це реально, оскільки уявний термін для\(\omega\) призведе до експоненціального терміну демпфування. Довільними константами є реальна амплітуда\(a_j\) і фаза\(\delta\). Заміна цього пробного рішення для кожного\(k\) призводить до набору рівнянь

\[\sum_j (V_{jk} − \omega^2 T_{jk} ) a_j = 0 \label{12.51}\]

де загальний фактор\(e^{i(\omega t−\delta )}\) був вилучений. Рівняння\ ref {12.51} відповідає набору\(n\) лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, яким\(a_j\) амплітуди повинні задовольняти для кожного\(k\). Щоб нетривіальне рішення існувало, визначник коефіцієнтів повинен зникнути, тобто

\[\begin{vmatrix} V_{11} − \omega^2 T_{11} & V_{12} − \omega^2 T_{12} & V_{13} − \omega^2 T_{13} & ... \\ V_{12} − \omega^2 T_{12} & V_{22} − \omega^2 T_{22} & V_{23} − \omega^2 T_{23} & ... \\ V_{13} − \omega^2 T_{13} & V_{23} − \omega^2 T_{23} & V_{33} − \omega^2 T_{33} & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{vmatrix} = 0 \label{12.52}\]

де симетрія\(V_{jk} = V_{kj}\) була включена. Це стандартна задача на власні значення, для якої вищевказаний детермінант дає світське рівняння або характеристичне рівняння. Це рівняння ступеня\(n\) в\(\omega^2\). \(n\)Коріння цього рівняння - це\(\omega_r\),\(\omega^2_r\) де знаходяться характерні частоти або власні частоти нормальних режимів.

Підстановка\(\omega^2_r\) на рівняння\ ref {12.52} визначає співвідношення\(a_{1,r} : a_{2,r} : a_{3,r} : ... : a_{n,r}\) для цього розв'язку, яке визначає складові\(n\) -вимірного власного вектора\(\mathbf{a}_r\). Тобто розв'язання світських рівнянь визначили власні значення та власні вектори\(n\) розв'язків зв'язково-канальної системи.

суперпозиція

Рівняння руху\(\sum_j (V_{jk} q_j + T_{jk} \ddot{q}_j )=0\) - це лінійні рівняння, які задовольняють суперпозиції. Таким чином, найбільш загальним рішенням\(q_j (t)\) може бути суперпозиція\(n\) власних векторів\(\mathbf{a}_{jr}\), тобто

\[q_j (t) = \sum^n_r a_{jr} e^{i(\omega_rt−\delta_r)} \label{12.53}\]

Тільки реальна частина\(q_j (t)\) має сенс, тобто

\[q_j (t) = \text{ Re} \sum^n_r a_{jr} e^{i(\omega_r t−\delta_r)} = \sum^n_r a_{jr} \cos (\omega_r t − \delta_r) \label{12.54}\]

Таким чином, найбільш загальне розв'язання цих лінійних рівнянь передбачає суму над власними векторами системи, які є косинусними функціями відповідних власних частот.

Власна функція Ортонормальність

Можна показати, що власні вектори ортогональні. Крім того, вищевказана процедура визначає лише співвідношення амплітуд, таким чином, існує невизначеність, яку можна використовувати для нормалізації\(a_{jr}\). Таким чином, власні вектори утворюють ортонормальну множину. Ортонормальність власних функцій для тензора інерції 3-го рангу була проілюстрована в главі\(13.10.2\). Застосовуються подібні аргументи, які дозволяють розширити ортонормальність на випадки вищого рангу, такі, що для осциляторів, пов'язаних з\(n\) -тілом.

Ортогональність власної функції для\(n\) зв'язаних осциляторів може бути доведена шляхом написання Equation\ ref {12.51} як для\(s^{th}\) кореня, так і для\(r^{th}\) кореня. Тобто,

\[\sum_j V_{jk} a_{ks} = \omega^2_s \sum_j T_{jk} a_{ks} \label{12.55} \]

\[\sum_j V_{jk} a_{jr} = \omega^2_r \sum_j T_{jk} a_{jr} \label{12.56} \]

Помножте рівняння\ ref {12.55} на\(a_{jr}\) і підсумуйте\(k\). Аналогічно помножте рівняння\ ref {12.56} на\(a_{ks}\) і підсумуйте\(k\). Ці підсумовування призводять до

\[\sum_{jk} V_{jk} a_{jr}a_{ks} = \omega^2_s \sum_{jk} T_{jk} a_{jr} a_{ks} \label{12.57} \]

\[\sum_{jk} V_{jk} a_{jr}a_{ks} = \omega^2_r \sum_{jk} T_{jk} a_{jr}a_{ks} \label{12.58} \]

Зверніть увагу, що ліві сторони цих двох рівнянь ідентичні. Таким чином, прийняття різниці між цими рівняннями дає

\[(\omega^2_r − \omega^2_s) \sum_{jk} T_{jk} a_{jr} a_{ks} = 0 \label{12.59}\]

Зверніть увагу, що якщо\((\omega^2_r − \omega^2_s ) \neq 0\), тобто припускаючи, що власні частоти не вироджені, то для забезпечення того, щоб Equation\ ref {12.59} дорівнює нулю, потрібно, щоб

\[\sum_{jk} T_{jk} a_{jr} a_{ks} = 0 \quad r \neq s \label{12.60}\]

Це показує, що власні функції ортогональні. Якщо власні частоти вироджені, тобто\(\omega^2_r = \omega^2_s\), то, без втрати спільності,\(r\) осі і\(s\) можуть бути обрані ортогональними.

Нормалізацію власних функцій можна вибирати вільно, оскільки лише співвідношення компонентів власної функції\(a_{jr}\) визначаються, коли\(\omega_r\) використовується в Equation\ ref {12.51}. Кінетична енергія, задана Equation\ ref {12.32}, повинна бути додатною або нульовою для випадку статичної системи. Тобто

\[T = \frac{1}{2} \sum^n_{j,k} T_{jk} \dot{q}_j \dot{q}_k \geq 0 \label{12.61}\]

Використовувати часову похідну від Equation\ ref {12.54} для визначення\(\dot{q}_r\) та вставки в Equation\ ref {12.61} дає, що кінетична енергія дорівнює

\[T=\frac{1}{2} \sum_{j, k}^{n} T_{j k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k}=\frac{1}{2} \sum_{j, k}^{n} T_{j k} \sum_{r, s} \omega_{r} \omega_{s} a_{j r} \cos \left(\omega_{r} t-\delta_{r}\right) a_{k s} \cos \left(\omega_{s} t-\delta_{s}\right) \label{12.62} \]

Для діагонального терміну\(r = s\)

\[T=\frac{1}{2} \sum_{j, k}^{n} T_{j k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k}=\left[\frac{1}{2} \sum_{r}^{n} \omega_{r}^{2} \cos ^{2}\left(\omega_{r} t-\delta_{r}\right)\right] \sum_{j, k} T_{j k} a_{j r} a_{k r} \geq 0 \label{12.63}\]

Так як термін в квадратних дужках повинен бути позитивним, то

\[\sum_{j,k} T_{jk} a_{jr} a_{kr} \geq 0 \label{12.64}\]

Так як ця сума повинна бути позитивним числом, а величину амплітуд можна вибирати вільно, то можна нормалізувати власні амплітуди функції до одиниці. Тобто, вибирайте, що

\[\sum_{j,k} T_{jk} a_{jr} a_{ks} = 1 \label{12.65}\]

Рівняння ортогональності,\ ref {12.60} та рівняння нормалізації\ ref {12.65} можна об'єднати в єдине рівняння ортонормалізації

\[\sum_{j,k} T_{jk} a_{jr} a_{ks} = \delta_{rs} \label{12.66}\]

Це показало, що власні вектори утворюють ортонормальну множину.

Так як\(j^{th}\) складовою\(r^{th}\) власне вектора є\(a_{jr}\), то і\(r^{th}\) власний вектор можна записати у вигляді

\[\mathbf{a}_r = \sum_j a_{jr} \widehat{\mathbf{e}_j} \label{12.67}\]

де\(\widehat{\mathbf{e}_j}\) - одиничні вектори для узагальнених координат.

Нормальні координати

Вищевказане загальне розв'язання задачі-генератор найкраще виражається через нормальні координати, які є незалежними. Він більш прозорий, якщо суперпозиція нормальних режимів записана у вигляді

\[q_{j}(t)=\sum_{r}^{n} \beta_{r} a_{j r} e^{i \omega_{r} t} \label{12.68}\]

де комплексний коефіцієнт\(\beta_r\) включає довільний масштабний коефіцієнт для забезпечення довільних амплітуд, а\(q_j\) також той факт, що амплітуди\(a_{jr}\) були нормовані та обраний\(\delta_r\) фазовий коефіцієнт.

Визначте

\[\eta_{r} (t) \equiv \beta_{r} e^{i \omega_{r} t} \label{12.69}\]

тоді рівняння\ ref {12.68} можна записати як

\[q_j (t) = \sum^n_r a_{jr}\eta_r (t) \label{12.70} \]

Рівняння\ ref {12.70} може бути виражено схематично у вигляді множення матриці

\[{\bf q = \{a\} \cdot} \boldsymbol{\eta} \label{12.71}\]

Це\(\eta_r (t)\) нормальні координати, які можуть бути виражені у вигляді

\[\boldsymbol{\eta} {\bf = \{a\}^{−1} q } \label{12.72}\]

Кожному нормальному режиму\(\eta_r\) відповідає одна власначастота,\(\omega_r\) яка задовольняє лінійному рівнянню осцилятора.

\[\ddot{\eta}_r + \omega^2_r \eta_r = 0 \label{12.73}\]

Автори та атрибуція

Template:ContribCline