14.3: Звичайні режими

Нормальні режими двозв'язкової системи осциляторів отримані шляхом перетворення в пару нормальних координат\((\eta_1, \eta_2)\), які є незалежними і відповідають двом нормальним режимам. Пара нормальних координат для цього випадку

\[\begin{align} \eta_1 \equiv x_1 − x_2 \label{14.12}\\ \eta_2 \equiv x_1 + x_2 \notag \end{align}\]

тобто

\[\begin{align} x_1 = \frac{1}{2} (\eta_2 + \eta_1) \label{14.13}\\ x_2 = \frac{1}{2} (\eta_2 − \eta_1) \notag \end{align}\]

Підставляємо їх у рівняння руху\((14.2.1)\), дає

\[\begin{align} m (\ddot{\eta}_1 + \ddot{\eta}_2 ) + (\kappa + 2\kappa^{\prime} ) \eta_1 + \kappa^{\prime} \eta_2 = 0 \\ \notag m (\ddot{\eta}_1 − \ddot{\eta}_2 ) + (\kappa + 2\kappa^{\prime} ) \eta_1 − \kappa^{\prime} \eta_2 = 0 \end{align}\]

Додавання та віднімання цих двох рівнянь дає

\[\begin{align} m\ddot{\eta}_1 + (\kappa + 2\kappa^{\prime} ) \eta_1 = 0 \\\notag m\ddot{\eta}_2 + \kappa \eta_2 = 0 \end{align}\]

Зверніть увагу, що дві координати\(\eta_1\) і\(\eta_2\) розв'язані і тому є незалежними. Розв'язками цих рівнянь є

\[\begin{align} \eta_1 (t) = C^+_1 e^{i\omega_1 t} + C^−_1 e^{-i\omega_1 t} \\ \eta_2 (t) = C^+_2 e^{i\omega_2 t} + C^−_2 e^{-i\omega_2 t} \end{align}\]

де\(\eta_1\) відповідає кутові частоти\(\omega_1\), і\(\eta_2\) відповідає\(\omega_2\). Дві координати\(\eta_1\) і\(\eta_2\) називаються нормальними координатами і двома розв'язками є нормальними режимами з відповідними кутовими частотами,\(\omega_1\) і\(\omega_2\).

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Рух двох зв'язаних гармонічних осциляторів у просторі\((x_1, x_2)\) просторової конфігурації та в умовах нормальних режимів\((\eta_1, \eta_2)\). Початкові умови є\(x_2 = D, x_1 = \dot{x}_1 = \dot{x}_2 = 0\).

\((\eta_1, \eta_2)\)Осі двох нормальних режимів відповідають обертанню\(45^{\circ}\) в конфігурації простору, рис\(\PageIndex{1}\). Вибрані початкові умови відповідають\(\eta_1 = −\eta_2\) і, таким чином, обидва режими збуджуються з однаковою інтенсивністю. Зверніть увагу, що по\(\eta_2\) осі є 5 пелюсток проти 4 пелюсток уздовж\(\eta_1\) осі, що відображають відношення власних частот\(\omega_1\) і\(\omega_2\). Також зверніть увагу, що ромбовидна форма руху в\((x_1, x_2)\) конфігураційному просторі ілюструє, що крайні амплітуди для\(x_2\) є максимумом, коли\(x_1\) дорівнює нулю, і навпаки. Це еквівалентно твердженню, що енергії в двох режимах пов'язані з енергією для першого генератора є максимумом, коли енергія є мінімальною для другого осцилятора, і навпаки. На відміну від цього, в\((\eta_1, \eta_2)\) конфігураційному просторі рух обмежується прямокутником, паралельним\((\eta_1, \eta_2)\) осям, що відображає той факт, що крайні амплітуди, і відповідні енергії, для\(\eta_1\) нормального режиму є постійними і незалежними від руху для\(\eta_2\) нормального режиму, і навпаки. Розв'язку двох нормальних режимів найкраще ілюструвати, розглядаючи випадок, коли збуджується лише один з цих двох нормальних режимів. Для початкових умов\(x_1 (0) = −x_2 (0)\), а\(\dot{x}_1 (0) = − \dot{x}_2 (0)\), потім\(\eta_2 (t)=0\). Тобто збуджується тільки\(\eta_1 (t)\) нормальний режим з частотою,\(\omega_1\) яка відповідає руху, обмеженому\(\eta_1\) віссю малюнка\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Нормальні режими для двох пов'язаних осциляторів.

Як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\),\(\eta_1 (t)\) це антисиметричний режим, в якому дві маси коливаються поза фазою, таким чином, щоб утримувати центр маси двох мас нерухомим. Для початкових умов\(x_1 (0) = x_2 (0)\), а\(\dot{x}_1 (0) = \dot{x}_2 (0)\), то\(\eta_1 (t)=0\), тобто збуджується тільки\(\eta_2 (t)\) нормальний режим. \(\eta_2 (t)\)Нормальний режим - це симетричний режим, коли дві маси коливаються у фазі з частотою\(\omega_2\); він відповідає руху вздовж\(\eta_2\) осі. Для симетричної фази обидві маси рухаються разом, що призводить до постійного подовження пружини зчеплення. В результаті частота\(\omega_2\) симетричного режиму\(\eta_2 (t)\) нижче частоти\(\omega_1\) асиметричного режиму\(\eta_1 (t)\). Тобто асиметричний режим жорсткіший, оскільки всі три пружини забезпечують активні відновлювальні сили, порівняно з симетричним режимом, де пружина зчеплення нестиснута. Взагалі, для притягальних сил найнижча частота завжди зустрічається для режиму з найвищою симетрією.