14.2: Два з'єднаних лінійних осциляторів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76216

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо двозв'язковий лінійний генератор, показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\), який містить дві однакові маси, кожна з яких з'єднана з нерухомими місцями однаковими пружинами, що мають постійну силу\(\kappa\). Пружина з постійною силою\(\kappa^{\prime}\) з'єднує два осцилятори. Рівноважні довжини зовнішніх двох пружин в\(l\) той час як довжина пружини муфти є\(l^{\prime}\). Проблема спрощується шляхом обмеження руху, щоб бути вздовж лінії, що з'єднує маси і припускаючи нерухомі кінцеві точки. Малі зміщення\(m_1\) і\(m_2\) приймаються бути\(x_1\) і\(x_2\) по відношенню до положень рівноваги\(l\) і\(l + l^{\prime}\) відповідно. Відновлювальна сила на\(m_1\) є,\(−\kappa x_1−\kappa^{\prime} (x_1 − x_2)\) поки відновлювальна сила на\(m_2\) є\(−\kappa x_2 − \kappa^{\prime} (x_2 − x_1)\). Ця поєднана система подвійних осциляторів демонструє основні особливості зв'язаних лінійних систем осциляторів.

12.2.1.PNG — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Два з'єднаних лінійних осциляторів. Рівноважні довжини пружин призначені\(l\) для зовнішніх пружин і\(l^{\prime}\) для пружини зчеплення. Зсув зі стійких місць задаються\(x_1\) і\(x_2\). Поділ між двома масами є\(r\) і розташування центру маси є\(R_{cm}\).

Якщо припустити\(m_1 = m_2 = m\), то рівняння руху

\[\begin{align} m\ddot{x}_1 + (\kappa + \kappa^{\prime} ) x_1 − \kappa^{\prime} x_2 = 0 \label{14.1} \\ \notag m\ddot{x}_2 + (\kappa + \kappa^{\prime} ) x_2 − \kappa^{\prime} x_1 = 0 \notag\end{align} \]

Припустимо, що рух для цих зв'язаних рівнянь є коливальним з розв'язком виду

\[\begin{align} x_1 = B_1 e^{i\omega t} \label{14.2}\\ x_2 = B_2e^{i\omega t} \notag\notag\end{align}\]

де константи\(B\) можуть бути складними для врахування як величини, так і фази. Підстановка цих можливих розв'язків у рівняння руху дає

\[\begin{align} −m\omega^2 B_1 e^{i\omega t} + (\kappa + \kappa^{\prime} ) B_1e^{i\omega t} − \kappa^{\prime} B_2e^{i\omega t} = 0 \label{14.3}\\ −m\omega^2B_2 e^{i\omega t} + (\kappa + \kappa^{\prime} ) B_2e^{i\omega t} − \kappa^{\prime} B_1 e^{i\omega t} = 0 \notag\end{align}\]

Збір термінів та скасування загального експоненціального фактора дає

\[\begin{align} (\kappa + \kappa^{\prime} − m\omega^2) B_1 − \kappa^{\prime} B_2 = 0 \label{14.4} \\ ( \kappa + \kappa^{\prime} − m\omega^2 ) B_2 − \kappa^{\prime} B_1 = 0 \notag\end{align}\]

Існування нетривіального розв'язку цих двох одночасних рівнянь вимагає, щоб визначник коефіцієнтів\(B_1\) і\(B_2\) повинен зникнути, тобто

\[\begin{vmatrix} \kappa + \kappa^{\prime} − m\omega^2 & −\kappa^{\prime} \\ −\kappa^{\prime} & \kappa + \kappa^{\prime} − m\omega^2 \end{vmatrix} = 0 \label{14.5}\]

Розширення цієї світської детермінантної врожайності

\[( \kappa + \kappa^{\prime} − m\omega^2 )^2 − \kappa^{\prime 2} = 0 \label{14.6}\]

Рішення для\(\omega\) дарує

\[\omega = \sqrt{\frac{\kappa + \kappa^{\prime} \pm \kappa^{\prime}}{m}} \label{14.7}\]

Тобто існує дві характерні для системи частоти (або власні частоти).

\[\omega_1 = \sqrt{\frac{\kappa + 2\kappa^{\prime} }{m}} \label{14.8}\]

\[\omega_2 = \sqrt{\frac{\kappa}{m}} \label{14.9}\]

Оскільки суперпозиція застосовується для цих лінійних рівнянь, то загальне рішення може бути записано у вигляді суми термінів, які враховують два можливих значення\(\omega\).

\(\PageIndex{2}\)На малюнку показані розв'язки для випадку, коли\(\kappa = 4\) і\(\kappa^{\prime} = 1\), в довільних одиницях, з початковою умовою що\(x_2 = D\), і\(x_1 = \dot{x}_1 = \dot{x}_2 = 0\). Дві характерні\(\omega_1 = \sqrt{\frac{6}{m}}\) частоти - і\(\omega_2 = \sqrt{\frac{4}{m}}\). Характерне явище ударів проявляється там, де оболонка протягом одного повного циклу низької частоти охоплює кілька коливань вищої частоти. Тобто рішення є

\[x_{2}(t)=\frac{D}{4}\left[e^{i \omega_{1} t}+e^{-i \omega_{1} t}+e^{i \omega_{2} t}+e^{-i \omega_{2} t}\right]=D \cos \left[\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}\right) t\right] \cos \left[\left(\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}\right) t\right] \]

поки

\[x_{1}(t)=\frac{D}{4}\left[e^{i \omega_{1} t}+e^{-i \omega_{1} t}-e^{i \omega_{2} t}-e^{-i \omega_{2} t}\right]=D \sin \left[\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}\right) t\right] \sin \left[\left(\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}\right) t\right]\]

Енергія в двозв'язаних осциляторах тече вперед і назад між пов'язаними осциляторами, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Краще розуміння енергетичного потоку, що відбувається між двома зв'язаними осциляторами, дається за допомогою\((x_1, x_2)\) конфігураційно-космічного графіка, показаного на малюнку\(14.3.1\). Потік енергії, що виникає між двома зв'язаними осциляторами, може бути представлений вибором координат нормального режиму\(\eta_1\) і\(\eta_2\) які\(45^{\circ}\) обертаються відносно просторових координат\((x_1, x_2)\). Ці координати нормального режиму\((\eta_1, \eta_2)\) відповідають двом нормальним режимам зв'язаної системи подвійних осциляторів.