12.E: Неінерційні опорні кадри (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76364

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо фіксовану опорну рамку\(S\) і обертову раму\(S^{\prime}\). Витоки двох систем координат завжди збігаються. Ретельно намалювавши діаграму, виведіть вираз, що стосується координат точки\(P\) в двох системах. (Це було висвітлено в розділі\(2\), але його варто переглянути зараз.
Ефективна сила, що спостерігається в обертовій системі координат, задається рівнянням\((12.5.7)\).
1. Яке значення кожного терміна в цьому вираженні?
2. Припустимо, ви хотіли виміряти силу тяжіння, як величину, так і напрямок, на тілі маси\(m\) в спокої на поверхні Землі. Якими термінами в ефективній силі можна знехтувати?
3. Припустимо, ви хотіли обчислити прогин снаряда, випущеного горизонтально уздовж поверхні Землі. Якими термінами в ефективній силі можна знехтувати?
4. Припустимо, ви хотіли обчислити ефективну силу на невеликому блоці маси,\(m\) розміщеному на поворотному столі без тертя, що обертається з залежною від часу кутовою швидкістю\(\omega (t)\). Якими термінами в ефективній силі можна знехтувати?
Схил проводять уздовж в рухомому шлейфу, з\(m\) масою схилу. Нехтувати будь-якими наслідками через обертання Землі і працювати в неінерційній системі відліку поїзда.
1. Знайдіть натяг в шнурі і відхилення від місцевої вертикалі, якщо поїзд рухається з постійним прискоренням\(a_0\).
2. Знайдіть натяг в шнурі і відхилення від місцевої вертикалі, якщо поїзд округлює криву радіуса\(\rho\) з постійною швидкістю\(v_0\).
Намистина на обертовому стрижні вільно ковзає без тертя. Стрижень має довжину\(L\) і обертається навколо свого кінця з кутовою швидкістю\(\omega\). Намистину спочатку звільняють від спокою (щодо стрижня) в середній точці стрижня.
1. Знайдіть зсув намистини уздовж дроту в залежності від часу.
2. Знайдіть час, коли намистина покине кінець стрижня.
3. Знайти швидкість (щодо стрижня) кульки, коли він виходить з кінця стрижня.
Ось «думковий експеримент» для вас, щоб розглянути. Припустимо, ви перебуваєте в невеликому вітрильнику маси\(M\) на екваторі Землі. На екваторі дуже мало вітру (це відоме як «екваторіальна депресія»), тому ваш вітрильник більш-менш сидить на місці. У вас є невеликий якір маси\(m\) на палубі і одна щогла висоти\(h\) посередині човна. Як ви можете використовувати якір, щоб привести човен в рух? В якому напрямку буде рухатися човен?
Чи дійсно вода тече в іншому напрямку, коли ви промиваєте туалет в південній півкулі? Що (якщо що) має відношення до цього сила Коріоліса?
Зараз ми знаходимося на широті\(\lambda\) (по відношенню до екватора), і Земля обертається з постійною кутовою швидкістю\(\omega\). Розглянемо наступні два сценарії: Сценарій А: Частка викидається вгору з початковою швидкістю\(v_0\). Сценарій B: Ідентична частинка скидається (в спокої) з максимальної висоти частинки в сценарії А. Обведіть всі справжні твердження щодо відхилення Коріоліса, припускаючи, що частинки приземлилися на a) і b),.
1. (а) Величина більша в А, ніж в B.
2. (б) Напрямок в А і В однакові.
3. (c) Напрямок в А не змінюється протягом усього польоту.
Якщо снаряд вистрілюється через схід від точки на поверхні Землі на північній широті\(\lambda\) зі швидкістю величини\(V_0\) і при нахилі до горизонталі\(\alpha\), показують, що бічний прогин при ударі снаряда на Землю становить
\[d = \frac{4V^3_0}{g^2} \omega \sin \lambda \sin^2 \alpha \cos \alpha\]

\(\omega\)де - частота обертання Землі.
Отримати вираз для кутового відхилення частинки, що проектується від Північного полюса на шляху, який лежить близько до поверхні землі. Чи є відхилення значним для ракети, яка здійснює 4800-кілометровий політ за 10 хвилин? Що таке «дальність пропуску», якщо ракета спрямована безпосередньо на ціль? Чи більша різниця пропусків для польоту 19300 км з тією ж швидкістю?
Автомобіль drag racer керує автомобілем з прискоренням\(a\) і миттєвою швидкістю\(v\). Шини радіусу\(r_0\) не ковзають. Виведіть, яка точка на шині має найбільший прискорення щодо землі. Що це за прискорення?
Розстріляні вежі були популярні у вісімнадцятому та дев'ятнадцятому століттях для скидання розплавленого свинцю вниз високими вежами для формування сфер для куль. Свинець затвердів при падінні і часто приземлявся у воду для охолодження свинцевих куль. Багато таких стріляних веж були побудовані в штаті Нью-Йорк. Припустимо, що постріл вежі був побудований на широті\(42^{\circ}\)\(N\), і що свинець впав на відстань\(27\)\(m\). В якому напрямку і на скільки приземлилися свинцеві кулі від прямої вертикалі?