12.10: Ефективна гравітаційна сила поблизу поверхні Землі

Вважайте, що поступальним прискоренням центру Землі можна знехтувати, і таким чином набір необертових осей через центр Землі можна вважати приблизно інерційним каркасом. Ефекти руху Землі навколо Сонця, або руху Сонячної системи в нашій Галактиці, невеликі в порівнянні з ефектами, обумовленими обертанням Землі.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Обертається рамка біля поверхні Землі.

Розглянемо обертову раму, прикріплену до поверхні землі, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Вектор по відношенню до центру Землі\(\mathbf{r}\) може бути розкладений на вектор до початку опорної рамки, закріпленої на поверхні Землі\(\mathbf{R}\), плюс вектор по відношенню до цієї поверхні опорного кадру\(\mathbf{r}^{\prime}\).

\[\mathbf{r} = \mathbf{R} + \mathbf{r}^{\prime} \]

Якщо зовнішня сила розділена на гравітаційний термін\(m\mathbf{g}\), плюс деяку іншу фізичну силу\(\mathbf{F}\), то прискорення в неінерційній поверхневій системі відліку дорівнює

\[\mathbf{a}^{\prime} = \frac{\mathbf{F}}{m} +\mathbf{g}−(\mathbf{A} + 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} ) + \boldsymbol{\dot{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime} ) \]

Але

\[\mathbf{V} = \left(\frac{d\mathbf{R}}{dt}\right)_{fixed} = \left(\frac{d\mathbf{R}}{dt}\right)_{rotating} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{R} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{R} \]

так як в обертовій рамі\(\left(\frac{d\mathbf{R}}{dt}\right)_{rotating} = 0\). Також прискорення

\[\mathbf{A} = \left(\frac{d\mathbf{V}}{dt}\right)_{fixed} = \left(\frac{d\mathbf{V}}{dt}\right)_{rotating} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{V} = \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{R}) \]

так як\(\left(\frac{d\mathbf{V}}{dt}\right)_{rotating} = 0\). Підставляючи це у вищевказане рівняння, дає

\[\begin{aligned} \mathbf{a}^{\prime} & = & \frac{\mathbf{F}}{m} + \mathbf{g} − (2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times [\mathbf{r}^{\prime} + \mathbf{R}]) + \boldsymbol{\dot{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime} ) \\ & = & \frac{\mathbf{F}}{m} + \mathbf{g} − (2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) + \boldsymbol{\dot{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime} ) \end{aligned}\]

де\(\mathbf{r}\) знаходиться по відношенню до центру Землі. Це, як очікується, безпосередньо з рівняння\((12.6.8)\). Так як кутова частота землі є постійною то\(\dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} = 0\). Таким чином, прискорення можна записати як

\[\mathbf{a}^{\prime} = \frac{\mathbf{F}}{m} + [\mathbf{g} − \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{ r})] − 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} \label{12.52}\]

Термін в квадратних дужках поєднує гравітаційне прискорення плюс відцентрове прискорення.

Вимірювання прискорення гравітації Землі фактично вимірює термін у квадратних дужках у Equation\ ref {12.52}, тобто ефективне гравітаційне прискорення, де

\[\mathbf{g}_{eff} = \mathbf{g} − \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{ r}) \]

біля поверхні землі\(\mathbf{r} \approx \mathbf{R}\). Ефективна гравітаційна сила не вказує на центр Землі, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Схил вказує, або об'єкт падає, в напрямку\(\mathbf{g}_{eff}\). Форма землі така, що поверхня Землі перпендикулярна\(\mathbf{g}_{eff}\). Це причина того, чому земля спотворюється в сплюснутий еліпсоїд, тобто вона сплющена на полюсах.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Ефективне гравітаційне прискорення.

Кут\(\alpha\) між\(\mathbf{g}_{eff}\) і лінією, що вказує на центр землі, залежить від широти\(\lambda = \frac{\pi}{2} −\theta\). Зверніть увагу, що широта\(\theta\) приймається рівною нулю на Північному полюсі, тоді як широта\(\lambda\) вважається нульовою на екваторі. Кут\(\alpha\) можна оцінити, припускаючи\(r^{\prime} << R\), що тоді відцентровий термін може бути наближений

\[|\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{ r})| \approx \omega^2 R \sin \theta = \omega^2 R \cos \lambda \]

Це досить мало для Землі з тих пір\(\omega = 0.73 \times 10^{−4}\)\(rads/s\) і\(R = 6371\)\(km\), що призводить до корекції терміну\(\omega^2 R \cos \lambda = 0.03 \cos \lambda\)\(m/s^2\). Так як

\[g^{horizontal}_{eff} = \omega^2 R \cos \lambda \sin \lambda \]

і

\[g^{vertical}_{eff} = g − \omega^2 R \cos^2 \lambda \]

Тоді кут\(\alpha\) між\(\mathbf{g}_{eff}\) і\(\mathbf{g}\) задається

\[\alpha \simeq \tan \alpha = \frac{g^{horizontal}_{eff}}{g^{vertical}_{eff}} = \frac{\omega^2 R \cos \lambda \sin \lambda}{g − \omega^2 R \cos^2 \lambda} \]

Це має максимальне значення\(\lambda = 45^{\circ}\), при якому є\(\alpha = 0.0088^{\circ}\).