Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

12.5: Закон руху Ньютона в неінерційній рамці

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76325

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Прискорення системи в обертовій інерційній рамці можна отримати шляхом диференціації загального відношення швидкості для\(\mathbf{v}\), рівняння\(12.4.4\), в основі фіксованого кадру, що дає

    \[\begin{align} \mathbf{a}_{fix} &= \left(\frac{d\mathbf{v}_{fix}}{dt}\right)_{fixed} \\[4pt] &= \left(\frac{d\mathbf{V}_{fix}}{dt}\right)_{fixed} + \left(\frac{d\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}}{dt}\right)_{fixed} + \left(\frac{d\omega}{dt}\right)_{fixed} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} + \omega \times \left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime}_{mov}}{dt}\right)_{fixed} \label{12.22} \end{align}\]

    Тепер ми хочемо використати загальне перетворення на обертову рамкову основу, що вимагає включення часової залежності одиничних векторів у обертовій рамці, тобто

    \[ \begin{align}  \left(\frac{d\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}}{dt}\right)_{fixed} &= \left(\frac{d\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}}{dt}\right)_{rotating} + \omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} \label{12.23} \\[4pt] \left(\frac{d\omega}{dt}\right)_{fixed} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} &= \left(\frac{d\omega}{dt}\right)_{rot} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.24} \\[4pt] \omega \times \left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime}_{mov}}{dt}\right)_{fixed} &= \omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) \label{12.25} \end{align}\]

    Використання рівнянь\ ref {12.23},\ ref {12.24},\ ref {12.25} дає

    \[ \mathbf{a}_{fix} = \mathbf{A}_{fix} + \mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} + 2\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) + \dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.26}\]

    де прискорення в обертовій рамці є\(\mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} = \left(\frac{d\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}}{dt}\right)_{rot}\) при цьому швидкість\(\mathbf{A}_{fix}\) є\(\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} = \left(\frac{\mathbf{r}^{\prime\prime}_{rot}}{dt}\right)_{rot}\) і є по відношенню до нерухомої рами.

    Закони руху Ньютона підкоряються в інерційній рамці, тобто

    \[ \begin{align}  \mathbf{F}_{fix} &= m\mathbf{a}_{fix} \\[4pt] &= m(\mathbf{A}_{fix} + \mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} + 2\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) + \dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) \label{12.27} \end{align}\]

    У подвійному грунтованому кадрі, яка може бути як обертається, так і прискорюється в перекладі, можна приписувати ефективну силу,\(\mathbf{F}^{eff}_{rot}\) яка підпорядковується дієвому закону Ньютона для прискорення\(\mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot}\) в обертовому кадрі

    \[\begin{align}\mathbf{F}^{eff}_{rot} &= m\mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} \\[4pt] &= \mathbf{F}_{fix} - m(\mathbf{A}_{fix} + 2\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) + \dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) \label{12.28} \end{align}\]

    Відзначимо, що ефективна сила\(\mathbf{F}^{eff}_{rot}\) містить фізичну силу\(\mathbf{F}_{fixed}\) мінус чотири неінерційні сили, які вводяться для корекції за те, що обертається рамка відліку є неінерційною рамкою.