12.4: Довідкова рамка, що проходить обертання плюс переклад

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76324

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо випадок, коли система прискорюється в перекладі так само, як і обертається, тобто загрунтована рама є необертається перекладається рамкою. Вектор положення\(\mathbf{r}_{fix}\) приймається відносно інерційного нерухомого негрунтованого каркасу, який може бути записаний через фіксовані одиничні базисні вектори\((\widehat{\mathbf{i}}_{fix}, \widehat{\mathbf{j}}_{fix}, \widehat{\mathbf{k}}_{fix})\). Цей\(\mathbf{r}_{fix}\) вектор можна записати як векторну суму\(\mathbf{R}_{fix}\) поступального руху початку обертової системи щодо нерухомого каркаса плюс положення\(\mathbf{r}^{\prime}_{mov}\) щодо цього перекладається грунтованого каркаса.

\[\mathbf{r}_{fix} = \mathbf{R}_{fix} + \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.18}\]

Диференціал в часі дорівнює

\[\left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_{fix} = \left(\frac{d\mathbf{R}}{dt}\right)_{fix} + \left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime}_{mov}}{dt}\right) \label{12.19}\]

Вектор\(d\mathbf{r}^{\prime}\) - це позиція щодо перекладаючої системи відліку, яка може бути виражена через одиничні вектори\(\left(\widehat{\mathbf{i}^{\prime}}_{mov}, \widehat{\mathbf{j}^{\prime}}_{mov}, \widehat{\mathbf{k}^{\prime}}_{mov}\right)\).

Рівняння\ ref {12.19} враховує поступальний рух рухомої грунтованої основи рами. Тепер, якщо припустити, що подвійна грунтована рама обертається навколо початку рухомої грунтованої рами, то зміщення сітки щодо вихідної основи інерційної рами можна об'єднати з рівнянням,\((12.3.3)\) що веде до співвідношення

\[\left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_{fix} = \left(\frac{d\mathbf{R}}{dt}\right)_{fix} + \left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime\prime}}{dt}\right)_{rot} + \omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.20}\]

Тут подвійна грунтовка рама буває як обертається, так і перекладається. Вектори в цьому кадрі виражаються через одиничні базисні вектори\(\left(\widehat{\mathbf{i}^{\prime\prime}}_{rot}, \widehat{\mathbf{j}^{\prime\prime}}_{rot}, \widehat{\mathbf{k}^{\prime\prime}}_{rot}\right)\).

Виражені у вигляді швидкостей, рівняння\ ref {12.20} можна записати як

\[\mathbf{v}_{fix} = \mathbf{V}_{fix} + \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.21}\]

де:

\(\mathbf{v}_{fix}\)- швидкість, виміряна відносно інерційної (негрунтованої) основи рами.
\(\mathbf{V}_{fix}\)- швидкість початку неінерційної транслюючої (грунтованої) основи каркаса відносно початку інерційного (негрунтованого) основи каркаса.
\(\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}\)це швидкість частинки щодо неінерційної обертової (подвійної грунтовки) каркасної основи, походження якої є як перекладається, так і обертається.
\(\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}\)рух обертової (подвійної грунтовки) рами щодо лінійно-перехідної (грунтованої) основи рами. Таким чином, це співвідношення враховує як швидкість поступального руху, так і обертання базисних векторів опорного координатного кадру.